1、直角坐标转换极坐标

直角坐标轉换到极坐标转换公式：

极坐标方程与直角坐标方程的互化示意图

设 是一个函数它的输入是向量 ，输出是向量 :

那么雅可比矩阵是一个m×n矩阵：

由于矩阵描述了向量空间中的运动——变换而雅可比矩阵看作是将点 转化到点 ，或者说是从一个n维的欧式空间转换到m维的欧氏空間

在微积分换元中，也就是给出了 从x到y的n维体积的比率

在二维情况（有直观的图）雅可比行列式代表xy平面上的面积微元与uv平面上的面積微元的比值。

设 雅可比行列式是：

如图所示：dA代表dx和dy张成的平行四边形的面积，如果du和dv充分接近于0那么dA：

4、二重积分在极坐标下的表达式

于是，二维平面是极坐标用 代换即可。而三维平面是球坐标球坐标有多种面元，要根据具体面元来转换