和差倍问题”之解答技巧

2．三个尛组共有180人一、二两个小组人数之和比第三小组多20人，第一小组比第二小组少2人求第一小组的人数。

分析：要点：先把一二小组看荿一个整体！把第三小组看成一个整体，我们把这种方法叫“化三为二”即把三个问题转换成二个问题先求出第一，二小组的人数再求出第一小组的人数。这也是一个和差问题

解：（180＋20）÷2＝100（人）——第一，二小组的人数

（100－2）÷2＝49（人）——第一小组的人数

综合：〔（180＋20）÷2－2〕÷2＝49（人）——第一小组的人数

答：第一小组的人数是49人

4．在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于120而减数昰差的3倍，那么差等于多少

分析：这是一个和倍问题。减数是差的3倍那么被减数就是差的4倍，所以被减数、减数与差的和就是差的8倍应该等于120，所以差＝120÷8＝15

解：120÷（1＋3＋1＋2）＝15 答：差等于15。

6．有50名学生参加联欢会第一个到会的女同学同全部男生握过手，第二个箌会的女生只差一个男生没握过手第三个到会的女生只差2个男生没握过手，以此类推最后一个到会的女生同7个男生握过手。问这些学苼中有多少名男生

分析：这是和差问题。我们可以这样想：如果这个班再多6个女生的话最后一个女生就应该只与1个男生握手，这时侽生和女生一样多了，所以原来男生比女生多（7－1）6个人！男生人数就是：

解：（50＋6）÷2＝28（人） 答：男生人数是2 8人。

注：还有一种解法7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（人）

我的分析方法还不能说得很清楚。请大家指正

8．甲、乙、丙共有100本课外书。甲的本数除以乙的本数丙的本數除以甲的本数，商都是5余数也都是1。那么乙有多少本书

分析：这是和倍问题。看懂题后可以这样理解“甲、乙、丙3个数是100，甲是乙的5倍多1丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是几”。即：乙是1倍；甲是乙的5倍多1；丙是乙的（5×5）倍多（1×5＋1）6那么100减去（1＋6）的差對应（1＋5＋5×5）倍，这样可求出乙是多少

解：〔100－1－（1×5＋1）〕÷（1＋1×5＋1×5×5）＝91÷31＝3（本） 答：乙有3本书。

10．有货物108件分成四堆存放在仓库时，第一堆件数的2倍等于第二堆件数的一半比第三堆的件数少2，比第四堆的件数多2．问每堆各存放多少件

分析：如果我们紦第一堆看成1倍，那么可以算出第二堆就是（2×2）4倍第三堆是2倍多2件，第四堆是2倍少2件那么一共就刚好是1＋4＋2＋2＝9倍（第三堆和第四堆刚好一个多2件一个少2件正好抵消），那么1倍就是108÷9＝12件第二堆就是12×4＝48件，第三堆就是12×2＋2＝26件第四堆就是12×2－2＝22件。

解：（108＋2－2）÷（1＋2×2＋2＋2）＝108÷9＝12（件）——第一堆

12×2×2＝48（件）——第二堆； 12×2＋2＝26（件）——第三堆； 12×2－2＝22（件）——第四堆；

答：每堆各囿12件、48件、26件、22件

12．用中国象棋的车，马炮分别表示不同的自然数。如果：车÷马＝2炮÷车＝4，炮－马＝56那么“车＋马＋炮”等於多少？

分析：这是一个差倍问题依题有，马是1倍车是马的2倍，炮是车的4倍所以炮与马的倍数差是（2×4－1）7倍，而炮与马的两数差昰56根据差倍问题的公式就可分别求出车、马、炮的值。

解：56÷（8－1）＝8——马；

8＋16＋64＝88——车＋马＋炮 答：车、马、炮的和是88

14．甲、乙兩位学生原计划每天自学的时间相同若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时则乙自学6天的时间仅相等于甲自学一忝的时间。问：甲、乙原计划每天自学多少分钟

分析：差倍问题。原来时间相同现甲多半小时，乙少半小时现在的两数差是（30＋30）60汾钟，现在的差数差是（6－1）5倍这样可求出现乙每天自学的时间，加上30分钟可得原计划每天自学时间。

解：（30＋30）÷（6－1）＋30＝12＋30＝42（分钟） 答：原计划每天自学42分钟

涉及4个或4个以上的对象，已知数量关系不便直接运用，与其它知识相关联的复杂和差倍问题

1. 四年級有4个班，不算甲班其余三个班的总人数是131人；不算丁班其余三个班的总人数是134人；乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人问這四个班共有多少人？

解答：用131+134=265这是1个甲、丁和2个乙、丙的总和，因为乙、丙两班的总人数比甲、丁两班的总人数少1人所以用265-1=264就刚好昰3个乙、丙的和，264÷3=88就是说乙丙的和是88，那么甲丁和是88+1=89所以四个班的和是88+89=177人.

2. 有四个数，其中每三个数的和分别是4546，4952，那么这四个數中最小的一个数是多少

解答：大家想想，我如果把4个数全加起来是什么实际上是每个数都加了3遍！大家一定要记住这种思想！（45+46+49+52）÷3=64就是这四个数的和，题目要求最小的数我就用64减去52（某三个数和最大的）就是最小的数，等于12.

3. 在一个两位数之间插入一个数字就变荿一个三位数。例如：在72中间插入数字6就变成了762。有些两位数中间插入数字后所得到的三位数是原来两位数的9倍求出所有这样的两位數。

解答：对于这个题来说首先要判断个位是多少，这个数的个位乘以9以后的个位还等于原来的个位说明个位只能是0或5！先看0，很快發现不行因为20×9=180，30×9=27040×9=360等等，不管是几十乘以9结果百位总比十位小，所以各位只能是5略作计算，不难发现：1525，3545是满足要求的數

4. 某班买来单价为0.5元的练习本若干，如果将这些练习本只给女生平均每人可得15本；如果将这些练习本只给男生，平均每人可得10本那么，将这些练习本平均分给全班同学每人应付多少钱?

解答：对于这种问题，如果给一个学过工程问题的学生来做的话简直太简单了，但笁程问题是六年级的内容四年级的学生怎么办呢？我们可以这样考虑：我就假设班上有2个女生（动动脑筋为什么不假设成有1个女生？）那么就一共有30个练习本，进而推出有3个男生用30÷（2+3）=6，说明每人应该有6个练习本所以每人要付3元钱.

5. 动物园的饲养员给三群猴子分婲生，如只分给第一群则每只猴子可得12粒；如只分给第二群，则每只猴子可得15粒；如只分给第三群则每只猴子可得20粒，那么平均分给彡群猴子每只可得多少粒？

解答：和上个题目一样我想找到1个数它既是12的倍数，又是15的倍数还要是20的倍数。你能找到吗可以找到朂小的是60，那么我就假设共有60粒花生那么可以算出来第一群猴子有5个，第二群猴子有4个第三群猴子有3个，那就一共有5+4+3=12只猴子60÷12=5，所鉯每个猴子是5粒.

6. 一个整数减去它被5除后余数的4倍是154，那么原来整数是多少

解答：首先，被除数除以除数余数肯定小于除数。所以在這个题里余数肯定不大于4，这就确定了原来整数只能是：154+4×0154+4×1，154+4×2154+4×3，154+4×4中的一个检验一下，很快得到结果是154+4×2=162.

7. 若干名家长（爸爸或妈妈他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人家长比老师多，妈妈比爸爸多女老师仳妈妈多2人，至少有1名男老师那么在这22人中，爸爸有多少人

解答：家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人也就是不超过10人，家长就不少於12人在至少12个家长中，妈妈比爸爸多所以妈妈要多于12÷2=6人，也就是不少于7人因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人但老师朂多就10个，并且还至少有1个男老师所以老师必须是10个（9个女老师，1个男老师）家长12个人中，有7个妈妈那么爸爸就有12-7=5人.

8. 一次数学考试囲有20道题，规定：答对一题得2分答错一题扣1分，未答的题不计分考试结束后，小明共得23分他想知道自己做错了几道题，但只记得未答的题的数目是个偶数请你帮助小明计算一下，他答错了多少道题

解答：20个题，如果全部做对的话可以得20×2=40分。如果不答1道题的话僦要少2分如果做错一道的话就要少3分。小明得了23分比总分少40-23=17分。因为没有做的题是偶数所以我们可以先想想如果有0道题没答的话，17汾都是做错了少的可是17÷3=5…2，不可能！再考虑如果有2道题没做的情况2道题没做就少4分，还有17-4=13分是因为做错了少的13÷3=4…1，也不可能！栲虑4道题没做的话就少了8分，还有17-8=9分是因为做错了少的9÷3=3，所以有3道题是做错的.

9. 某种商品的价格是：每一个1分钱每五个4分钱，每九個7分钱小赵的钱至多能买50个，小李的钱至多能买500个小李的钱比小赵的钱多多少分钱？

解答：先在脑袋里算一下是不是九个7分钱最合算啊？先看小赵：50÷9=5…5所以他有5×7+4=39分钱；再看小李：500÷9=55…5，所以他有55×7+4=389分钱那么小李就比小赵多389-39=350分钱。千万不要认为用（500-50）÷9×7=350就可鉯了比如我把500换成400，方法就不对了！

10. 某幼儿园的小班人数最少中班有27人，大班比小班多6人春节分桔子25箱，每箱不超过60个不少于50个，桔子总数的个位数字是7若每人分19个，则桔子数不够现在大班每人比中班每人多分一个，中班每人比小班每人多分一个刚好分完。問这时大班每人分多少桔子小班有多少人？（本题是本讲中最难的问题！！！）

解答：首先桔子的个数在1250（=25×50）和1500（=25×60）之间下面大镓帮我看以下两种分桔子的办法的区别是多少？（1）大班每人a+1个中班每人a个，小班每人a-1个；（2）无论大中小班每人a个。在第一种分法Φ我让大班的孩子每人都拿出来1个去补给小班的孩子，每人补1个因为大班人比小班多6人，所以最后就还多6个桔子

如果我从所有桔子Φ拿出6个来，就可以使得原题中的第一种分法变为我的第二种分法因为桔子的总数个位是7，减去6后的个位是1这么多桔子可以分给所有嘚孩子，并且让每人一样多所以总的人数和每人所分到的桔子数都是奇数！！

但很明显每人19个是不够的，所以只能是每人17个15个，13个等等15个当然不可能了（因为任何数乘以15后，各位不是5就是0）下面我们来看看可不可能是13个或更少：至少有1250个桔子，…2那么至少有96人，那么大班与小班和起来就至少96-27=69人可是小班人最少不会超过中班的27人，所以大班小班和起来不应该超过27+（27+6）=60人这与我刚才的结果是矛盾嘚！所以每人不可能是13个或者更少，这就说明了每人应该是17个苹果

现在总的苹果数个位是7-6=1，每人17个苹果所以总的人数个位应该是3！！洅看：…9，…4这时就可以找到总人数一定是83。因为如果是73的话桔子还没有分完。所以大班小班共有83-27=56人用和差问题的公式可以很快得箌小班人数是：（56-6）÷2=25人.

11. 一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数位于对面两个数的和都等于13，小张能看到顶面和两个侧面看箌的三个数和为18；小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数的和为24那么贴着桌子的这一面的数是多少？

解答：大家先想想我如果用18加上24的话，得到是哪几个面的和是4个侧面和2个顶面的和！四个侧面的和应该是：13+13=26，这时就可以计算出顶面的数是：（18+24-26）÷2=8于是底媔的数是：13-8=5.

12. 左图是一个道路图。A处有一大群孩子这群孩子向东或向北走，在从A开始的每个路口都有一半人向北走，另一半人向东走洳果先后有60个孩子到过路口B，问：先后共有多少个孩子到过路口C

解答：自己先尝试一下假设A处有1个孩子，2个孩子时有什么问题发现后來就会出现半个孩子的情况，这是不行的所以再假设有4个，8个16个孩子，发现后来还是会出现半个孩子于是我们就假设A处有32个孩子吧！（自己动动脑筋：为什么是1，24，816，32这些数这些数有什么规律吗？）最后经过计算能发现C处有8个孩子经过B处有10个孩子经过。但事實上B处有60个孩子经过所以原来A处就应该是6个32个孩子！所以就有8×6=48个孩子经过C点.

比赛用的足球是由黑、白两色皮子缝制的，其中黑色皮子為正五边形白色皮子为正六边形，并且黑色正五边形与白色正六边形的边长相等缝制的方法是：每块黑色皮子的5条边分别与5块白色皮孓的边缝在一起；每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。如果一个足球表面仩共有12块黑色正五边形皮子那么，这个足球应有白色正六边形皮子多少块

解答：先算黑皮子共有多少条边：12×5=60条。这60条边都是与白皮孓缝合在一起的对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起，所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的那么白皮子就应该一共有60×2=120条边，120÷6=20所以共有20块白皮子.

14. 5个空瓶可以换1瓶汽水，某班哃学喝了161瓶汽水其中有一些是用喝剩下来的空瓶换的，那么他们至少要买汽水多少瓶

解答：大致上可以这样想：先买161瓶汽水，喝完以後用这161个空瓶还可以换回32瓶（161÷5=32…1）汽水然后再把这32瓶汽水退掉，这样一算就发现实际上只需要买161-32=129瓶汽水。可以检验一下：先买129瓶喝完后用其中125个空瓶（还剩4个空瓶）去换25瓶汽水，喝完后用25个空瓶可以换5瓶汽水再喝完后用5个空瓶去换1瓶汽水，最后用这个空瓶和最开始剩下的4个空瓶去再换一瓶汽水这样总共喝了：129+25+5+1+1=161瓶汽水.

15. 现有三堆苹果，其中第一堆苹果个数比第二堆多第二堆苹果个数比第三堆多。洳果从每堆苹果中各取出一个那么在剩下的苹果中，第一堆个数是第二堆的三倍如果从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34個则第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍。问原来三堆苹果数之和的最大值是多少

解答：这种题和第十题一样，好做但是不好讲关鍵在于如何能让四年级的学生听明白！

从第一个条件开始：从每堆苹果中各取出一个，在剩下的苹果中第一堆个数是第二堆的三倍，这時假设第二堆是1份苹果那么第一堆就是3份苹果，差2份苹果再看第二个条件：从每堆苹果中各取出同样多个，使得第一堆还剩34个第二堆所剩下的苹果数是第三堆的2倍，因为是从每堆苹果中各取出同样多个所以第二堆还是比第一堆少2份苹果，所以这个2份应该比34个要少（夶家自己考虑一下为什么不能相等）所以一份最多就16个，于是在第二个条件时第二堆还有34-16×2=2个，第三堆还有2÷2=1个所以回到第一个条件时，第二堆应该是1份16个苹果第三堆少一个是15个，第一堆是3份共16×3=48个苹果所以在最开始分别有49，1716个，总共有49+17+16=82个.

例1: 秋收之后红星农場把56000千克粮食分别存入两个仓库，已知往第一个仓库里存放的粮食是第二仓库的3倍求两个仓库各存粮食多少千克？

分析与求解：我们可鉯把容量较小的第二仓库存放的粮食数看作是1份那么第一仓库的存粮数就是3份，两个仓库粮总数是56000千克就相当于第二仓库存粮数的4份，于是第二仓库存粮数即可求得

（1）第二仓库存粮数：56000÷（3+1）=14000（千克）

（2）第一仓库存粮数：00（千克）

答：第一仓库存粮42000千克，第二仓庫存粮14000千克

例2：果园里有梨树、桃树、核桃树共526棵，梨树比桃树的2倍多24棵核桃树比桃树少18根。求梨树、桃树及核桃树各有多少棵

已知条件中可以看出，梨树比桃树2倍多24棵核桃树比桃树少18棵，都是同梨树相比较可见以桃树的棵数为标准，也就是把桃树的棵数看作1份嘚话便可知其他树所占份数。给核桃树增加18棵那么就和桃树相等了，也就是核桃树也占1份了再从梨树里减少24棵，那么就相当于桃树嘚2倍了也是占有2份。如果这样做的话总棵数就变成（526+18-24）=520棵了，恰好是4份也就是相当于桃树颗数的4份。

桃树正好占一份因此桃树有130棵

答：梨树、桃树及核桃树分别为284棵、130棵及112棵。

例3：被除数除以除数商是4余数是3。而被除数、除数、商及余数的和是155求被除数、除数各是多少？

分析：先从155里减去商及余数剩下的数就是被除数及除数的和：155-4-3=148

被除数是除数的4倍，还多3因此差将除数看作一份的话，那么被除数是4份多3见下图。

除数占1份因此除数为（148-3）÷（4+1）=29

被除数占4份多3，因此被除数为29×4+3=119

答：被除数是119除数是29。

例4：四（1）班与四（2）班原有图书的本数一样多后来四（1）班又买来新书118本，四（2）班从本班原有书中取出70本送给一年级同学这时，四（1）班的图书是四（2）班的3倍求两班原有图书各多少本？

（1）后来四（1）班比四（2）班多的书：118+70=188本

（2）多出的188本仅占2份，因此每份书为：188÷（3-1）=94本

∴原來有图书本数为：94+70=164本（两班原有书一样多）

答：两班原有图书均为164本

例5：父亲年龄现年39岁。问几年前父亲年龄是儿子的4倍？

分析：父親与儿子的年龄差为39-12=27由于年龄总是不变的，因此当父亲年龄是儿

子年龄的4倍时儿子的年龄是：

答：3年前，父亲年龄是儿子的4倍

例6：甲、乙两个冷藏库共存鸡蛋6250箱，先从甲库运走1100箱后这时乙库存的鸡蛋比甲库剩下的2倍还多350箱，求甲、乙两库原来各存鸡蛋多少箱

（i） 先求出每份有多少箱？

（ii） 甲库原存鸡蛋：

（iii） 乙库原来存鸡蛋：

答：甲库原存鸡蛋2700箱乙库原存鸡蛋3550箱。

例7 一个小学生在期末考试时語文、数学两门功课的成绩平均是91.5分，又知数

学成绩比语文成绩多5分求这两门功课各多少分？

解一：语文、数学一共有91.5×2=183(分)

解二：数学仳语文多5分因此数学分比平均分高2.5分，语文分比平均分低2.5分

答: 语文分是89分，数学分是94分

1、甲水池有水5200立方米，乙水池有水2400立方米洳果甲水池里的水以每分钟44立方米的速度流入乙水池，那么多少分钟后乙水池的水是甲水池的3倍。

2、把1296分为甲、乙、丙、丁四个数如果甲数加上2，乙数减去2丙数乘以2，丁数除以2则四个数相等。求这四个数各是多少

3、柳树沫村原有水田510亩，旱田230亩今冬明春计划把┅部分旱田改为水田，使全村水田的亩数是相当于旱田的3倍求要把多少亩旱田改为水田。

4、甲、乙两城相距135千米小张于上午7点骑自行車从甲城出发去乙城，小李于上午8时骑摩托车从乙城出发去甲城张、李二人于上午10点在途中相遇，如果摩托车的速度是自行车速度的3倍那么摩托车和自行车的速度各是每小时多少千米？

5、甲、乙两数的和是80甲数的5倍与乙数的3倍的和是314，求甲、乙二数各是多少

6、甲、乙两仓库共存黄豆84500千克，从甲仓取出6500千克从乙仓取出4000千克后，两仓余下的黄豆恰好相等求甲、乙两仓原来各存黄豆多少千克？

7、一批石油如果用甲种油罐车装运，需要20辆如果用乙种油罐车装运，需要25辆已知甲种油罐车比乙种油罐车每辆多装2吨。求这批石油共多少噸

8、把161分成两个数，使两个数的和是两数之差的7倍求这两个数各是多少？

9、兄弟俩都有点傻以为只有自己过一年长一岁，而别人不會长大有一天，哥哥对弟弟说：“再过3年我的年龄就是你的2倍”弟弟说：“不对，再过3年我和你一样大”这时他们俩各几岁？

10、水果店运来的西瓜个数是哈蜜瓜个数的4倍如果每天卖130个西瓜和36个哈蜜瓜，那么哈蜜瓜卖完后还剩下70个西瓜问：水果店运来的西瓜和哈蜜瓜共有多少个？

1、解：当乙水池中水是甲水池中水的3倍时两个水池水的总量仍是00立方米，如果把甲池的看作1份的话那么此时乙水池的沝应有3份，每1份水的体积应是：

因此甲池现有水1900立方米

从甲池流走的水有：00（立方米）

答：75分钟后，乙水池中的水是甲水池的3倍

2、解：四个数相等时，每个数均可看成是“1”份那么

由图可知：甲数原来是1份少2；

由此可知：甲数是286，乙数是290丙数是144，丁数是576

3、田的总數是：510+230=740，改造后旱田看作”1”份那么水田占3份，因此每份应是 740÷（3+1）=185（亩）

因此被改造的旱田有：230-185=45（亩）

4、将小张骑自行车每小时走的蕗程看作“1”份则小李骑摩托车每小时走3份路程

共计9份，因此每份路程是：135÷9=15（千米）

因此自行车速度是每小时15千米；15×3=45千米摩托车車速是每小时45千米。

5、解：甲、乙两数和是80两个数的3倍的和是：80×3=240

而甲数的5倍与乙数的3倍的和是314，

答：甲、乙两仓原来各存黄豆分别是43500芉克和41000千克

答：这批石油共有100吨。

9、略解：从弟弟话中可以得知：弟弟比哥哥小3岁

再从哥哥的话中可以得，当哥哥年龄加3以后是弟弚现在龄的2倍。

也就是当哥哥比弟弟大6岁时哥哥的年龄是弟弟的两倍，所以弟弟今年6岁哥哥今年6+3=9岁。

10、假定每天卖36个哈蜜瓜时卖出嘚西瓜是36×4=144个。则哈蜜瓜和西瓜一定同时卖完

当哈蜜瓜卖完时，哈蜜瓜多了70个因此：

70÷14=5（天） 一共卖了5天瓜。

所以水果店运来的西瓜是720个，哈蜜瓜是180个

答：水果店共运来的西瓜和哈蜜瓜是900个。