* * 将数学建模思想和方法融入大学數学主干课程教学中的研究与试验 太原理工大学应用数学系 第九章 重积分习题课(一) 二 重 积 分 一、与二重积分有关的综合题的概念 1．定义 ： 2．几何意义： 表示曲顶柱体的体积 3．物理意义： —— 的质量. 二、与二重积分有关的综合题的性质（三重类似） 1．线性性质： 2. 可加性： 4. 单调性： 3. 区域 的面积： 若在 上, ,则 设 5．估值性质： 6．中值定理： 则在 上至少存在一点 , 使得 是 的面积 7.奇偶对称性： , 是 的面积 0 D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的渏函数 设函数 在闭区域 上连续, D关于x(或y)轴对称, 为y(或x)的偶函数 则 三、与二重积分有关的综合题的计算方法 1．利用直角坐标计算 （1）X-型区域： . 关鍵：选择积分次序 （2）Y-型区域： 2．利用极坐标计算 四. 典型例题 【例1】利用与二重积分有关的综合题的性质，估计积分 的值；其中 由于在 上 故由与二重积分有关的综合题的性质可知 即 【例2】计算与二重积分有关的综合题 其中 分析 首先应画出区域 的图形.本题可采用直角坐标计算 注意到 既是 型区域, 又是 型区域，而无论 型区域 或 型区域都不能用一个不等式组表出, 均需要把 分割成 两个 型区域或两个 型区域的和的形式 不妨把 分成 型区域的和 来计算． 解: 积分区域如图所示. . 将与二重积分有关的综合题转化为先对 后对 的二次积分,得 因 其中 解: 积分区域如图所礻. 在极坐标系下，由于 【例3】计算与二重积分有关的综合题 其中 是由圆周 , 及直线 , 所围成的第一象限内的闭区域. . 将与二重积分有关的综合题轉化为极坐标系下先对 后对 的二次积分, 得 【例4】 计算与二重积分有关的综合题 . 其中 是圆周 所围成的闭区域 解:在极坐标系下，由于 . 【例5】計算与二重积分有关的综合题 其中 . 解: 积分区域如图为去掉绝对值： 因为 其中 则 【例6】设区域 计算与二重积分有关的综合题 分析 由于积分區域 关于 轴对称，故先利用与二重积分有关的综合题的 化为二次积分进行计算即可 其中 然后再利用极坐标将 对称性简化所求的积分.因 是關于变量 为偶函数， 关于 为奇函数故 解： 【例7】设 有连续的一阶导数，且 求 分析 本题是与二重积分有关的综合题的计算、变上限积分求導和求极限的综合题目应首先利用极坐标将与二重积分有关的综合题转化成积分变上限的函数，然后再利用洛必达法则求极限 解： 型 型 五、与二重积分有关的综合题的应用 1．几何应用 （其中 ） 2．物理应用 （1）质量 （2）质心 （3）转动惯量 曲顶柱体的体积 【例8】 求上半球面 與旋转抛物面 所围成的立体的体积。 分析 首先求出立体在 坐标面上的投影区域然后利用与二重积分有关的综合题的几何意义将所求立体嘚体积用与二重积分有关的综合题来表示，再利用极坐标计算即可 解：令 求得曲线 在 坐标面上的投影曲线方程为 故立体在 坐标面上投影區域为