设函数在ab上连续连续且可导，求ab

点击联系发帖人 时间：2019-10-15 05:31

函数在ab上连续

设f（x）在区间[ab]上连续，在（ab）可导，
证明：在（ab）内至少存在一点ξ，使

=f（ξ）+ξf′（ξ）．

构造辅助函数在ab上连续：F（x）=xf（x），
则：F（x）在[ab]连续，在（ab）可導，
从而F（x）满足拉格朗日中值定理
则：在（a，b）内至少存在一点ξ，
而：F′（x）=f（x）+xf′（x）

=f（ξ）+ξf′（ξ），

根据证明的问题来看，与一阶导数和函数在ab上连续相关联的等式需要用拉格朗日中值定理．但我们需要构造一个函数在ab上连续，又等式的左边

容易看出這个函数在ab上连续是xf（x）．

A:拉格朗日中值定理 B:罗尔中值定理

一般应用拉格朗日中值定理，需要根据题目条件构造一个函数在ab上连续有时還需要确定应用的区间．

}

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设函数在ab上连续f（x）在[ab]上连续，在（ab）内可导，且f′（x）≠0．试证存在ξ、η∈（ab），使得

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因为函数在ab上连续f（x）在[ab]上连续，所以应用拉格朗日中值定理知：存茬ξ∈（a，b）使得f′（ξ）?（b-a）=f（b）-f（a），即f′(ξ)＝要求存在ξ、η∈（ab），使得

?e?η代入f′(ξ)＝

，则只需求存在η∈（ab），使得f′(η)＝

显然只需对g(x)＝

在[a，b]上应用柯西中值定理即可．

本题求导函数在ab上连续与端点函数在ab上连续的关系．一般考虑到使用中值定理．ξ、η可能不相等那么可以分成两个函数在ab上连续分别应用中值定理．首先对分子中的ξ点应用中值定理，即可得到关于η点的表达式，洅求解．

柯西中值定理；拉格朗日中值定理．

本题考查柯西中值定理．易错点为对g（x）使用中值定理．本题需理解中值定理的各种应用形式．

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