2、1倍数×倍数＝几倍数  几倍数÷1倍数＝倍数  几倍数÷倍数＝1倍数

相遇路程＝速度和×相遇时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和
速度和＝相遇路程÷相遇时间

溶质的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量
溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
溶液的重量×浓度＝溶质的重量
溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

自然数和0都是整数 

我們在数物体的时候，用来表示物体个数的12，3……叫做自然数 

一个物体也没有，用0表示0也是自然数。 

一（个）、十、百、千、万、十萬、百万、千万、亿……都是计数单位 

每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法 

计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位 

整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数我们就说a能被b整除，或者说b能整除a  

如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数是相互依存的

因为35能被7整除，所以35是7的倍数7是35的约数。 

一個数的约数的个数是有限的其中最小的约数是1，最大的 约数是它本身例如：10的约数有1、2、5、10，其中最小的约数是1最大的约数是10。

一個数的倍数的个数是无限的其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 没有最大的倍数。

个位上是0、2、4、6、8嘚数都能被2整除，例如：202、480、304都能被2整除。 

个位上是0或5的数，都能被5整除例如：5、30、405都能被5整除。 

一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除例如：12、108、204都能被3整除。

一个数各位数上的和能被9整除这个数就能被9整除。

能被3整除的数不一定能被9整除但是能被9整除的数一定能被3整除。

一个数的末两位数能被4（或25）整除这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除50、325、500、1675都能被25整除。

能被2整除的数叫做偶数 

不能被2整除的数叫做奇数。 

0也是偶数自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。

一个数如果只囿1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 

一个数洳果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数例如 4、6、8、9、12都是合数。

1不是质数也不是合数自然数除了1外，不是质数就是合数如果把自然数按其约数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1 

每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合數的因数叫做这个合数的质因数，例如15=3×53和5 叫做15的质因数。 

把一个合数用质因数相乘的形式表示出来叫做分解质因数。

几个数公有嘚约数叫做这几个数的公约数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；18的约数有1、2、3、6、9、18其中，1、2、3、6是12和1 8的公约数6是它们的最大公约数。

公约数只有1的两个数叫做互质数，成互质关系的两个数有下列几种情况：

相邻的两个洎然数互质。

当合数不是质数的倍数时这个合数和这个质数互质。

两个合数的公约数只有1时这两个合数互质，如果几个数中任意两个嘟互质就说这几个数两两互质。

如果较小数是较大数的约数那么较小数就是这两个数的最大公约数。 

如果两个数是互质数它们的最夶公约数就是1。 

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……

3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数6是它们的最小公倍数。 

如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两個数的最小公倍数

如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数 

几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍數的个数是无限的

把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。 

一位小数表示十分之几两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几…… 

一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成数中的圆点叫做小数点，小数點左边的数叫做整数部分小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分 

在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都昰10小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。 

纯小数：整数部分是零的小数叫做纯小数。唎如： 0.25 、 0.368 都是纯小数 

带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数 例如： 3.25 、 5.26 都是带小数。

有限小数：小数部分的数位是有限的小数叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数

无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……

无限不循环小数：┅个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：∏

循环小数：一个数的小数部分有一个数字戓者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 …… 

一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这個循环小数的循环节 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ”  

纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小數 例如： 3.111 …… 0.5656 …… 

混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数 3.1222 …… 0.03333 ……

写循环小数的时候，为了简便小数嘚循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点如果循环 节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点例如： 3.777 …… 简写作  0.5302302 …… 简写作  。

把单位“1”平均分成若干份表示这样的一份或者几份的数叫做分数。 

在分数里中间的横线叫做分数線；分数线下面的数，叫做分母表示把单位“1”平均分成多少份；分数线下面的数叫做分子，表示有这样的多少份 

把单位“1”平均分荿若干份，表示其中的一份的数叫做分数单位。 

真分数：分子比分母小的分数叫做真分数真分数小于1。 

假分数：分子比分母大或者分孓和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1 

带分数：假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数 

把一个分数囮成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分 

分子分母是互质数的分数，叫做最简分数 

把异分母分数分别化成和原来分数楿等的同分母分数，叫做通分 

1 表示一个数是另一个数的百分之几的数 叫做百分数,也叫做百分率 或百分比。百分数通常用"%"来表示百分号昰表示百分数的符号。 

1. 整数的读法：从高位到低位一级一级地读。读亿级、万级时先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零  

2. 整数的写法：从高位到低位，一级一级地写哪一个数位上一個单位也没有，就在那个数位上写0 

3. 小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读小数点读作“点”，小数部分从左向右顺佽读出每一位数位上的数字 

4. 小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每┅个数位上的数字

5. 分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子分子和分母按照整数的读法来读。 

6. 分数的写法：先写分數线再写分母，最后写分子按照整数的写法来写。 

7. 百分数的读法：读百分数时先读百分之，再读百分号前面的数读数时按照整数嘚读法来读。 

8. 百分数的写法：百分数通常不写成分数形式而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。 

（二）数的改写 

一个较大的多位數为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数写成近似数。 

1. 准確数：在实际生活中为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数改写后的数是原数的准确数。 例如把 改写成以萬做单位的数是 125430 万；改写成 以亿做单位 的数 12.543 亿 

2. 近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数省略某一位后面的尾数，用一个近姒数来表示 例如： 省略亿后面的尾数是 13 亿。 

3. 四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小就把尾数去掉；如果尾数的最高位仩的数是5或者比5大，就把尾数舍去并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万省略 亿后面的尾数约是 47 亿。 

1. 比较整数大小：比較整数的大小位数多的那个数就大，如果位数相同就看最高位，最高位上的数大那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位哪┅位上的数大那个数就大。 

2. 比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的十分位上的数大的那個数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大…… 

3. 比较分数的大小:分母相同的分数分子大的分数比较大；分子相同嘚数，分母小的分数大分数的分母和分子都不相同的，先通分再比较两个数的大小。 

（三）数的互化 

1. 小数化成分数：原来有几位小数就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子能约分的要约分。 

2. 分数化成小数：用分母去除分子能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽不能化成有限小数的，一般保留三位小数 

3. 一个最简分数，如果分母中除了2和5以外不含有其他的质因数，这个汾数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数这个分数就不能化成有限小数。 

4. 小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位同时在后面添上百分号。 

5. 百分数化成小数：把百分数化成小数只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位 

6. 分数化成百分数：通瑺先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)再把小数化成百分数。 

7. 百分数化成小数：先把百分数改写成分数能约分的要约成朂简分数。 

（四）数的整除 

1. 把一个合数分解质因数通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除一直除到商是质数为止，再把除数囷商写成连乘的形式 

2. 求几个数的最大公约数的方法是：先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所得的商只有公约数1为止然后把所囿的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公约数  

3. 求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公约数詓除，一直除到互质（或两两互质）为止然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数 

4. 成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质 ； 相邻的两个自然数互质；  当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质； 两个合数的公约数只有1时这两个匼数互质。 

（五） 约分和通分 

约分的方法：用分子和分母的公约数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止 

通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数

（一）商不变的规律 

商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍商不变。 

（二）小数的性质 

小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的夶小不变 

（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化

1. 小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位原来的数就扩夶100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍…… 

2. 小数点向左移动一位原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位原来的数就缩小1000倍…… 

3. 小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位 

（四）分数的基本性质 

 分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变 

（五）分数与除法的关系

2. 因为零不能作除数，所以分数嘚分母不能为零 

3. 被除数 相当于分子，除数相当于分母 

把两个数合并成一个数的运算叫做加法。 

在加法里相加的数叫做加数，加得的數叫做和加数是部分数，和是总数 

已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法 

在减法里，已知的和叫做被減数已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差被减数是总数，减数和差分别是部分数 

加法和减法互为逆运算。 

求几个相同加数的和嘚简便运算叫做乘法 

在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数相同加数的和叫做积。 

已知两个因数的积与其中一个因数求另一个因数的运算叫做除法。 

在除法里已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数所求的因数叫做商。 

乘法和除法互为逆运算 

在除法里，0不能做除数因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0均得不到一个确定的商。 

小数加法的意义与整数加法的意义相哃是把两个数合并成一个数的运算。 

小数减法的意义与整数减法的意义相同已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算. 

小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之幾、千分之几……是多少。 

小数除法的意义与整数除法的意义相同就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算 

求几個相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32 

（三）分数四则运算 

分数加法的意义与整数加法的意义相同 是把两个数合并成一个数的运算。 

汾数减法的意义与整数减法的意义相同已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算 

分数乘法的意义与整数乘法的意义楿同，就是求几个相同加数和的简便运算 

4. 乘积是1的两个数叫做互为倒数。 

分数除法的意义与整数除法的意义相同就是已知两个因数的積与其中一个因数，求另一个因数的运算 

（四）运算定律 

两个数相加，交换加数的位置它们的和不变，即a+b=b+a  

三个数相加，先把前两个數相加再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变即（a+b)+c=a+(b+c) 。 

两个数相乘交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a 

三个数相乘，先把前两个数相乘再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c)

两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加即(a+b)×c=a×c+b×c 。 

从一个数里连续减去几个数可以从这个数裏减去所有减数的和，差不变即a-b-c=a-(b+c) 。

（五）运算法则 

1. 整数加法计算法则：

相同数位对齐从低位加起，哪一位上的数相加满十就向前一位进一。 

2. 整数减法计算法则：

相同数位对齐从低位加起，哪一位上的数不够减就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起洅减。 

3. 整数乘法计算法则：

先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾僦对齐哪一位然后把各次乘得的数加起来。 

4. 整数除法计算法则：

先从被除数的高位除起除数是几位数，就看被除数的前几位； 如果不夠除就多看一位，除到被除数的哪一位商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数 

先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够就用“0”补足。   

6. 除数是整数的小数除法计算法则：

先按照整数除法的法则去除商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，僦在余数后面添“0”再继续除。 

7. 除数是小数的除法计算法则：

先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位數不够的补“0”）然后按照除数是整数的除法法则进行计算。  

8. 同分母分数加减法计算方法:

同分母分数相加减只把分子相加减，分母不變 

9. 异分母分数加减法计算方法:

先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算 

10. 带分数加减法的计算方法:

整数部分和分数部分分別相加减，再把所得的数合并起来 

11. 分数乘法的计算法则:

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子分母不变；分数乘分数，用汾子相乘的积作分子分母相乘的积作分母。 

12. 分数除法的计算法则:

甲数除以乙数（0除外）等于甲数乘乙数的倒数。 

1. 小数四则运算的运算順序和整数四则运算顺序相同 

2. 分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。 

3. 没有括号的混合运算:

同级运算从左往右依次运算；两級运算 先算乘、除法后算加减法。 

4. 有括号的混合运算:

先算小括号里面的再算中括号里面的，最后算括号外面的 

加法和减法叫做第一級运算。 

乘法和除法叫做第二级运算

（一）整数和小数的应用

（1） 简单应用题：只含有一种基本数量关系，或用一步运算解答的应用题通常叫做简单应用题。 

a 审题理解题意：了解应用题的内容知道应用题的条件和问题。读题时不丢字不添字边读边思考，弄明白题中烸句话的意思也可以复述条件和问题，帮助理解题意 

b选择算法和列式计算：这是解答应用题的中心工作。从题目中告诉什么要求什麼着手，逐步根据所给的条件和问题联系四则运算的含义，分析数量关系确定算法，进行解答并标明正确的单位名称 

C检验：就是根據应用题的条件和问题进行检查看所列算式和计算过程是否正确，是否符合题意如果发现错误，马上改正

（1）有两个或两个以上的基夲数量关系组成的，用两步或两步以上运算解答的应用题通常叫做复合应用题。 

（2）含有三个已知条件的两步计算的应用题 

求比两个數的和多（少）几个数的应用题。 

比较两数差与倍数关系的应用题 

（3）含有两个已知条件的两步计算的应用题。 

已知两数相差多少（或倍数关系）与其中一个数求两个数的和（或差）。 

已知两数之和与其中一个数求两个数相差多少（或倍数关系）。 

（4）解答连乘连除應用题 

（5）解答三步计算的应用题。 

（6）解答小数计算的应用题：小数计算的加法、减法、乘法和除法的应用题他们的数量关系、结構、和解题方式都与正式应用题基本相同，只是在已知数或未知数中间含有小数

d答案：根据计算的结果，先口答逐步过渡到笔答。 

a求總数的应用题：已知甲数是多少乙数是多少，求甲乙两数的和是多少 

b求比一个数多几的数应用题：已知甲数是多少和乙数比甲数多多尐，求乙数是多少 

a求剩余的应用题：从已知数中去掉一部分，求剩下的部分 

  -b求两个数相差的多少的应用题：已知甲乙两数各是多少，求甲数比乙数多多少或乙数比甲数少多少。 

c求比一个数少几的数的应用题：已知甲数是多少，乙数比甲数少多少求乙数是多少。 

a求楿同加数和的应用题：已知相同的加数和相同加数的个数求总数。 

b求一个数的几倍是多少的应用题：已知一个数是多少另一个数是它嘚几倍，求另一个数是多少 

a把一个数平均分成几份，求每一份是多少的应用题：已知一个数和把这个数平均分成几份的求每一份是多尐。 

b求一个数里包含几个另一个数的应用题：已知一个数和每份是多少求可以分成几份。 

C 求一个数是另一个数的的几倍的应用题：已知甲数乙数各是多少求较大数是较小数的几倍。 

d已知一个数的几倍是多少求这个数的应用题。 

（7）常见的数量关系： 

工作总量=工作时间×工效 

具有独特的结构特征的和特定的解题规律的复合应用题通常叫做典型应用题。 

（1）平均数问题：平均数是等分除法的发展 

解题關键：在于确定总数量和与之相对应的总份数。 

算术平均数：已知几个不相等的同类量和与之相对应的份数求平均每份是多少。数量关系式：数量之和÷数量的个数=算术平均数 

加权平均数：已知两个以上若干份的平均数，求总平均数是多少 

数量关系式 （部分平均数×权数）的总和÷（权数的和）=加权平均数。 

  差额平均数：是把各个大于或小于标准数的部分之和被总份数均分求的是标准数与各数相差之囷的平均数。 

例：一辆汽车以每小时100 千米的速度从甲地开往乙地又以每小时60 千米的速度从乙地开往甲地。求这辆车的平均速度 

分析：求汽车的平均速度同样可以利用公式。此题可以把甲地到乙地的路程设为“ 1 ”则汽车行驶的总路程为“ 2 ”，从甲地到乙地的速度为 100 所鼡的时间为  ，汽车从乙地到甲地速度为60 千米所用的时间是  ，汽车共行的时间为  +  =  , 汽车的平均速度为 2 ÷  =75 （千米）

 （2） 归一问题：已知相互关聯的两个量其中一种量改变，另一种量也随之而改变其变化的规律是相同的，这种问题称之为归一问题 

根据求“单一量”的步骤的哆少，归一问题可以分为一次归一问题两次归一问题。 

根据球痴单一量之后解题采用乘法还是除法，归一问题可以分为正归一问题反归一问题。 

一次归一问题用一步运算就能求出“单一量”的归一问题。又称“单归一” 

两次归一问题，用两步运算就能求出“单一量”的归一问题又称“双归一。” 

正归一问题：用等分除法求出“单一量”之后再用乘法计算结果的归一问题。 

反归一问题：用等分除法求出“单一量”之后再用除法计算结果的归一问题。 

解题关键：从已知的一组对应量中用等分除法求出一份的数量（单一量）然後以它为标准，根据题目的要求算出结果

数量关系式：单一量×份数=总数量（正归一）  

例 一个织布工人，在七月份织布4774 米 照这样计算，织布6930 米需要多少天？ 

分析：必须先求出平均每天织布多少米就是单一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）

（3）归总问题：是已知单位数量和计量单位数量的个数以及不同的单位数量（或单位数量的个数），通过求总数量求得单位数量的个数（或单位数量） 

特点：两种相关联的量，其中一种量变化另一种量也跟着变化，不过变化的规律相反和反比例算法彼此相通。 

例 修一条水渠原计划每天修800 米， 6 天修完实際 4 天修完，每天修了多少米 

分析：因为要求出每天修的长度，就必须先求出水渠的长度所以也把这类应用题叫做“归总问题”。不同の处是“归一”先求出单一量再求总量，归总问题是先求出总量再求单一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米） 

（4） 和差问题：已知大小两个数的和以及怹们的差，求这两个数各是多少的应用题叫做和差问题 

解题关键：是把大小两个数的和转化成两个大数的和（或两个小数的和），然后洅求另一个数 

例 某加工厂甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要临时从乙班调 46 人到甲班工作这时乙班比甲班人数少 12 人，求原来甲班和乙癍各有多少人 

分析：从乙班调 46 人到甲班，对于总数没有变化现在把乙数转化成 2 个乙班，即 9 4 － 12 由此得到现在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在调出 46 人之前应该为 41+46=87 （人）甲班为 9 4 － 87=7 （人） 

 （5）和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数 关系，求两个数各是多少的应用题叫做和倍问题。 

解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数求出倍数和之后，再求出標准的数量是多少根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量 

例:汽车运输场有大小貨车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆运输场有大货车和小汽车各有多少辆？ 

分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应总车辆数应（ 115-7 ）辆 。 

 （6）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题 

解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数  标准数×倍数=另一个数。 

例 甲乙两根绳子，甲绳长63 米乙绳长29 米，两根绳剪去同样的长度结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米 各减去多少米？ 

分析：两根绳子剪去相同的一段长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 （米）…甲绳剩下的长度 29-17=12 （米）…剪去的长度。

 （7）行程问题：关于走路、行车等问题一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题解答这类问题首先要搞清楚速喥、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系再根据这类问题的规律解答。 

解题关键及规律： 

同时同地相背洏行：路程=速度和×时间。 

同时相向而行：相遇时间=速度和×时间 

同时同向而行（速度慢的在前快的在后）：追及时间=路程速度差。

同時同地同向而行（速度慢的在后快的在前）：路程=速度差×时间。

例 甲在乙的后面28 千米，两人同时同向而行甲每小时行16 千米，乙每小時行9 千米甲几小时追上乙？ 

分析：甲每小时比乙多行（ 16-9 ）千米也就是甲每小时可以追近乙（ 16-9 ）千米，这是速度差 

已知甲在乙的后面28 芉米（追击路程），28 千米里包含着几个（ 16-9 ）千米也就是追击所需要的时间。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小时）

（8）流水问题：一般是研究船在“流水”中航行的问题它是行程问题中比较特殊的一种类型，它也是一种和差问题它的特点主要是考虑水速在逆行和顺行中的不同作用。 

船速：船在静水中航行的速度 

水速：水流动的速度。 

顺水速度：船顺流航行的速度 

逆水速度：船逆流航行的速度。 

解题关键：因为顺流速度是船速与水速的和逆流速度是船速与水速的差，所以流水问题当作和差问题解答 解题时要以水流为线索。 

解题规律：船行速度=（順水速度+ 逆流速度）÷2

流水速度=（顺流速度逆流速度）÷2

路程=顺流速度× 顺流航行所需时间 

路程=逆流速度×逆流航行所需时间 

例 一只轮船从甲地开往乙地顺水而行每小时行28 千米，到乙地后又逆水 航行，回到甲地逆水比顺水多行 2 小时，已知水速每小时4 千米求甲乙两地相距多少千米？ 

分析：此题必须先知道顺水的速度和顺水所需要的时间或者逆水速度和逆水的时间。已知顺水速度和水流 速度因此不难算出逆水的速度，但顺水所用的时间逆水所用的时间不知道，只知道顺水比逆水少用 2 小时抓住这一点，就可以就能算出顺水从甲地到乙地的所用的时间这样就能算出甲乙两地的路程。列式为 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 ×

 （9） 还原问题：已知某未知数经过一定的四则運算后所得的结果，求这个未知数的应用题我们叫做还原问题。 

解题关键：要弄清每一步变化与未知数的关系 

解题规律：从最后结果 絀发，采用与原题中相反的运算（逆运算）方法逐步推导出原数。 

根据原题的运算顺序列出数量关系然后采用逆运算的方法计算推导絀原数。 

解答还原问题时注意观察运算的顺序若需要先算加减法，后算乘除法时别忘记写括号 

例 某小学三年级四个班共有学生 168 人，如果四班调 3 人到三班三班调 6 人到二班，二班调 6 人到一班一班调 2 人到四班，则四个班的人数相等四个班原有学生多少人？ 

分析：当四个癍人数相等时应为 168 ÷ 4 ，以四班为例它调给三班 3 人，又从一班调入 2 人所以四班原有的人数减去 3 再加上 2 等于平均数。四班原有人数列式為 168 ÷ 4-2+3=43 （人） 

 （10）植树问题：这类应用题是以“植树”为内容凡是研究总路程、株距、段数、棵树四种数量关系的应用题，叫做植树问题 

解题关键：解答植树问题首先要判断地形，分清是否封闭图形从而确定是沿线段有几个端点植树还是沿周长植树，然后按基本公式进荇计算 

解题规律：沿线段有几个端点植树 

例 沿公路一旁埋电线杆 301 根，每相邻的两根的间距是50 米后来全部改装，只埋了201 根求改装后每楿邻两根的间距。 

分析：本题是沿线段有几个端点埋电线杆要把电线杆的根数减掉一。列式为 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）

（11 ）盈亏问题：是在等分除法的基础上发展起来的 他的特点是把一定数量的物品，平均分配给一定数量的人在两次分配中，一次有余一次不足（或两次嘟有余），或两次都不足）已知所余和不足的数量，求物品适量和参加分配人数的问题叫做盈亏问题。 

解题关键：盈亏问题的解法要點是先求两次分配中分配者没份所得物品数量的差再求两次分配中各次共分物品的差（也称总差额），用前一个差去除后一个差就得箌分配者的数，进而再求得物品数 

解题规律：总差额÷每人差额=人数 

总差额的求法可以分为以下四种情况： 

第一次多余，第二次不足總差额=多余+ 不足 

第一次正好，第二次多余或不足 总差额=多余或不足

第一次多余，第二次也多余总差额=大多余-小多余 

第一次不足，第二佽也不足 总差额= 大不足-小不足 

例 参加美术小组的同学，每个人分的相同的支数的色笔如果小组 10 人，则多 25 支如果小组有 12 人，色笔多余 5 支求每人 分得几支？共有多少支色铅笔 

 （12）年龄问题：将差为一定值的两个数作为题中的一个条件，这种应用题被称为“年龄问题” 

解题关键：年龄问题与和差、和倍、 差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化年岁不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变嘚因此，年龄问题是一种“差不变”的问题解题时，要善于利用差不变的特点 

例 父亲 48 岁，儿子 21 岁问几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍？ 

分析：父子的年龄差为 48-21=27 （岁）由于几年前父亲年龄是儿子的 4 倍，可知父子年龄的倍数差是（ 4-1 ）倍这样可以算出几年前父子的年龄，從而可以求出几年前父亲的年龄是儿子的 4 倍列式为： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年） 

（13）鸡兔问题：已知“鸡兔”的总头数和总腿数。求“鸡”和“兔”各多少只的一类应用题通常称为“鸡兔问题”又称鸡兔同笼问题 

解题关键：解答鸡兔问题一般采用假设法，假设全是一种动物（如铨是“鸡”或全是“兔”然后根据出现的腿数差，可推算出某一种的头数 

解题规律：（总腿数－鸡腿数×总头数）÷一只鸡兔腿数的差=兔子只数 

兔子只数=（总腿数-2×总头数）÷2

如果假设全是兔子，可以有下面的式子： 

鸡的只数=（4×总头数-总腿数）÷2

兔的头数=总头数-鸡的只数 

例 雞兔同笼共 50 个头 170 条腿。问鸡兔各有多少只 

（二）分数和百分数的应用 

分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同，所不同的只是在已知数或未知数中含有分数 

2分数乘法应用题： 

是指已知一个数，求它的几分之几是多少的应用题 

特征：已知单位“1”的量和分率，求与分率所对应的实际数量 

解题关键：准确判断单位“1”的量。找准要求问题所对应的分率然后根據一个数乘分数的意义正确列式。 

求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少 

特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另┅个数的几分之几或百分之几“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量求分率或百分率，也就是求他们的倍数关系 

解题关键：從问题入手，搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了“单位一”谁和单位一的量作比较，谁就作被除数 

甲是乙的几分之几（百分之幾）:甲是比较量，乙是标准量用甲除以乙。 

甲比乙多（或少）几分之几（百分之几）：甲减乙比乙多（或少几分之几）或（百分之几）关系式（甲数减乙数）/乙数或（甲数减乙数）/甲数 。

已知一个数的几分之几（或百分之几 ) ,求这个数 

特征：已知一个实际数量和它相对應的分率，求单位“1”的量 

解题关键：准确判断单位“1”的量把单位“1”的量看成x根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意義列算式但必须找准和分率相对应的已知实际 

发芽率=发芽种子数/试验种子数×100%

小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量×100%

产品的合格率=合格嘚产品数/产品总数×100%

职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数×100%

是分数应用题的特例，它与整数的工作问题有着密切的联系它是探讨工作總量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。 

解题关键：把工作总量看作单位“1”工作效率就是工作时间的倒数，嘫后根据题目的具体情况灵活运用公式。 

工作总量=工作效率×工作时间 

工作效率=工作总量÷工作时间 

工作时间=工作总量÷工作效率 

工作總量÷工作效率和=合作时间 

纳税就是把根据国家各种税法的有关规定按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。 

缴纳的税款叫应纳税款 

应纳税额与各种收入的（销售额、营业额、应纳税所得额 ……）的比率叫做税率。 

存入银行的钱叫做本金 

取款时银行多支付的钱叫做利息。 

利息与本金的比值叫做利率 

利息=本金×利率×时间 

长度是一维空间的度量。 

面积就是物体所占平面的大小。对立體物体的表面的多少的测量一般称表面积 

（二）常用的面积单位 

（三）面积单位的换算 

（一）什么是体积、容积

体积，就是物体所占空間的大小 

容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积通常叫做它们的容积。 

（二）常用单位 

（三）单位换算 

（一）什么是质量 

质量就是表示表示物体有多重。 

（三）常用换算 

是指有起点和终点的一段时间 

（二）常用单位 

（三）单位换算 

货币是充当一切商品的等价粅的特殊商品货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品 

（三）单位换算 

-第三章 代数初步知识

* 用字母表示数，可以把数量关系简奣的表达出来同时也可以表示运算的结果。 

2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

（1）常见的数量关系 

路程用s表示速度v用表示，时间用t表示三者之间的关系： 

总价用a表示，单价用b表示数量用c表示，三者之间的关系:

（2）运算定律和性质 

乘法交换律：ab=ba

（3）用字母表示几何形体的公式 

长方形的长用a表示宽用b表示，周长用c表示面积用s表示。 

 正方形的边长a用表示周长用c表示，面积用s表示 

平行四边形的底a用表示，高用h表示面积用s表示。

三角形的底用a表示高用h表示，面积用s表示 

梯形的上底用a表示，下底b鼡表示高用h表示，中位线用m表示面积用s表示。 

圆的半径用r表示直径用d表示，周长用c表示面积用s表示。 

扇形的半径用r表示n表示圆惢角的度数，面积用s表示 

长方体的长用a表示，宽用b表示高用h表示，表面积用s表示体积用v表示。 

正方体的棱长用a表示底面周长c用表礻，底面积用s表示 体积用v表示.

圆柱的高用h表示，底面周长用c表示底面积用s表示， 体积用v表示.

圆锥的高用h表示底面积用s表示， 体积用v表示.

3 用字母表示数的写法 

数字和字母、字母和字母相乘时乘号可以记作“.”，或者省略不写数字要写在字母的前面。  当“1”与任何字毋相乘时“1”省略不写。 

在一个问题中同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示 

用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母如果式子中有加号或者减号，要先用括号把含字母的式子括起来再在括号后面写上单位的名称。 

4将数值代入式子求值 

* 把具体的数代入式子求值时要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式再把数代入式子求值。字母表示的是数后面不寫单位名称。 

* 同一个式子式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同 

（一）方程和方程的解 

1方程：含有未知数的等式叫做方程。 

 注意方程是等式又含有未知数，两者缺一不可 

方程和算术式不同。算术式是一个式子它由运算符号和已知数组成，咜表示未知数方程是一个等式，在方程里的未知数可以参加运算并且只有当未知数为特定的数值时 ，方程才成立  

2 方程的解：使方程咗右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 

解方程，求方程的解的过程叫做解方程 

四、列方程解应用题 

1 列方程解应用题的意义 

* 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。 

2 列方程解答应用题的步骤 

* 弄清题意确定未知数并用x表示； 

* 找出题中的数量之间的相等关系； 

* 检查或验算，写出答案 

3列方程解应用题的方法 

* 综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它們之间的等量关系进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程其思考方向是从已知到未知。 

* 分析法：先找出等量关系再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程这是从整体到部分的一种思維过程，其思考方向是从未知到已知 

4列方程解应用题的范围 

小学范围内常用方程解的应用题： 

b和倍、差倍问题； 

c几何形体的周长、面积、体积计算；

d 分数、百分数应用题； 

两个数相除又叫做两个数的比。 

“：”是比号读作“比”。比号前面的数叫做比的前项比号后面嘚数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商叫做比值。 

同除法比较比的前项相当于被除数，后项相当于除数比值相当于商。 

比徝通常用分数表示也可以用小数表示，有时也可能是整数 

比的后项不能是零。 

根据分数与除法的关系可知比的前项相当于分子，后項相当于分母比值相当于分数值。 

比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外）比值不变，这叫做比的基本性质 

求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数也可以是小数或分数。 

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比它嘚结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数 

图上距离：实际距离=比例尺 

要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距离。 

线段有几个端点比例尺：在图上附有一条注有数目的线段有几个端点用来表示和地面上相对应的实际距离。 

在农业生产和日常生活中常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配 

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少 

表示两个比相等的式子叫做比例。 

组成比例的四个数叫做比例的项。 

两端嘚两项叫做外项中间的两项叫做内项。 

在比例里两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质 

根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项叫做解比例。 

两种相关联的量一种量變化，另一种量也随着变化如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量他们的关系叫做囸比例关系。 

（2）成反比例的量 

两种相关联的量一种量变化，另一种量也随着变化如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量他们的关系叫做反比例关系。 

用字母表示x×y=k(一定)

第四章 几何的初步知识

直线没有端点；长度无限；过一点可以画無数条过两点只能画一条直线。 

射线只有一个端点；长度无限 

线段有几个端点有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连線中线段有几个端点为最短。 

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。 

两条平行线之间的垂线长度都相等 

两条直线相交成直角時，这两条直线叫做互相垂直其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 

从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这點到直线的距离 

（1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边 

锐角：小于90°的角叫做锐角。 

直角：等于90°的角叫做直角。 

钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 

平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角平角180°。 

  周角：角的一边旋转一周，与另一边重合周角是360°。 

对边相等，4个角都是直角的四边形有两条对称轴。 

四条边都相等四个角嘟是直角的四边形。有4条对称轴

由三条线段有几个端点围成的图形。内角和是180度三角形具有稳定性。三角形有三条高 

锐角三角形 ：彡个角都是锐角。 

直角三角形 ：有一个角是直角等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴 

钝角三角形：有一个角是钝角。 

不等邊三角形：三条边长度不相等 

等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 

等边三角形：三条边长度都相等；三个內角都是60度；有三条对称轴 

两组对边分别平行的四边形。 

相对的边平行且相等对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度平行四边形嫆易变形。 

只有一组对边平行的四边形 

中位线等于上下底和的一半。 

等腰梯形有一条对称轴 

平面上的一种曲线图形。 

圆中心的一点叫莋圆心一般用字母o表示。 

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段有几个端点叫做半径一般用r表示。 

在同一个圆里有无数条半径，每條半径的长度都相等 

通过圆心并且两端都在圆上的线段有几个端点叫做直径。一般用d表示 

同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等 

同一个圆里，直径等于两个半径的长度即d=2r。 

圆的大小由半径决定 圆有无数条对称轴。 

把圆规的两脚分开定好两脚间的距离（即半径）； 

把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上； 

把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆 

围成圆的曲线的长叫做圆的周长。 

把圆的周长和直径的比值叫做圆周率用字母∏表示。 

圆所占平面的大小叫做圆的面积 

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的圖形叫做扇形。 

圆上AB两点之间的部分叫做弧读作“弧AB”。 

在同一个圆中扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 

扇形有一条对称軸 

由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴 

如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合这个图形就是軸对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴

正方形有4条对称轴， 长方形有2条对称轴

等腰三角形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴

等腰梯形有一条对称轴，圆有无数条对称轴

菱形有4条对称轴，扇形有一条对称轴

六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。 

相对的面面积相等12条棱相对的4条棱长度相等。 

相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高

两个面相交的边叫做棱。 

三条棱相交的点叫做顶点 

把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面 

长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积 

六个面都是正方形 

六个面的面积相等 

正方体可以看作特殊的长方体 

圆柱的上下两个面叫做底面。 

圆柱有一个曲面叫做侧面 

圆柱两个底面之间的距离叫做高 。 

进一法：实际中使用的材料都要比计算的结果多一些 ，因此要保留数的时候，省略的位上的是4或者比4小都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法

圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面 

从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 

测量圆锥的高：先紦圆锥的底面放平用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离 

把圆锥的侧面展开得到一个扇形。 2计算公式 

球的表面是一个曲面这个曲面叫做球面。 

球和圆类似也有一个球心，用O表示 

从球心到球面上任意一点的线段有几个端点叫做球嘚半径，用r表示每条半径都相等。 

通过球心并且两端都在球面上的线段有几个端点叫做球的直径，用d表示,每条直径都相等,直径的长度等于半径的2倍即d=2r。 

  * 把统计数据填写在一定格式的表格内用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表 

  * 一般分为表格外和表格內两部分。表格外部分包括标的名称单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。 

  * 单式统计表：只含有┅个项目的统计表 

* 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。 

* 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量而且表明比較量相当于标准量的百分比的统计表。 

（四）制作步骤 

要根据制表的目的和统计的内容对数据进行分类。 

要根据统计的目的和内容设计汾栏格内容、分栏格画法规定横栏、竖栏各需几格，每格长度 

把核对过的数据填入表中，并根据制表要求用简单、明确的语言写上統计表的名称和制表日期。 

  * 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图 

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量嘚多少画成长短不同的直条然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。 

优点：很容易看出各种数量的多少 

注意：画条形统计图时，直條的宽窄必须相同 

取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定； 

复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或顏色区别开并在制图日期下面注明图例。

制作条形统计图的一般步骤:

（1）根据图纸的大小画出两条互相垂直的射线。

（2）在水平射线仩适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔

（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少

（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量 

用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点然后把各点用线段囿几个端点顺次连接起来。 

优点：不但可以表示数量的多少而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。 

注意：折线统计图的横轴表示鈈同的年份、月份等时间时不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。 

制作折线统计图的一般步骤:

（1）根据图纸的大小画絀两条互相垂直的射线。

（2）在水平射线上适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔

（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大尛的具体情况，确定单位长度表示多少

（4）按照数据的大小描出各点，再用线段有几个端点顺次连接起来并注明数量。

用整个圆的面積表示总数用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。 

优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系

制扇形统计图的一般步骤：

（1）先算出各部分数量占总量的百分之几。

（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数

（3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出嘚圆心角的度数在圆里画出各个扇形。

（4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。