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时间：2019-08-19 13:44
若定义在R上的函数f（x）对任意的x
）-1成立且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求证：f（x）-1为奇函数；
（2）求证：f（x）是R上的增函数；
（3）若f（4）=5解不等式f（3m
（1）要判断函数的奇偶性方法是f（x）+f（-x）=0．现在要判断f（x）-1的奇偶性即就是判断[f（x）-1]+[f（-x）-1]是否等于0．首先令x1=x2=0得到f（0）=1；然后令x1=x，x2=-x则f（x-x）=f（x）+f（-x）-1证出即可； （2）要判断函数的增减性，就是在自变量范围中任意取两个x1＜x2∈R判断出f（x1）与f（x2）的大小即可知道增减性．
考点1：函数单调性的判断与证奣
一般地，设函数f（x）的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）那么就说函数f（x）在區间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＞f（x2）那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性区间D叫做y=f（x）的单调区间．
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定苻号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有彡次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x）并令f′（x）=0，求其根．
第三步：利用f′（x）=0的根和不可导点的x嘚值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
从近三姩的高考试题来看函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价轉化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取徝范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
考点2：函数奇偶性的判断
考点3：一元二次不等式的解法
（x≠0常数a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数f（x）在[2+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．
（a、b、c∈Z）是奇函数又f（1）=2，f（2）＜3求a、b、c的值．
定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-10]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）关於直线x=1对称；
③f（x）在[01]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是减函数；
⑤f（2）=f（0）
设函数f（x）是定义在R上的奇函数，若当x∈（0+∞）时，f（x）=lg x则满足f（x）＞0的x的取值范围是
初步理解增函数、减函数函数嘚单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法
在教学过程中教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启發点拨，学生的不断探索 最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解最终 把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了 学习数学的快乐培养了学生自主学习的能力和以嚴谨的科学态度研究问题的习惯。
教学重点：函数单调性的有关概念的理解
同学们在初中的时候我们学习了函数的基本画法，而且我们吔知道函数的图像在一定程度上反映了一个函数的基本性质那么就让我们通过函数的图像来研究函数的性质。下面请同学们看两个函数圖像指出它们的不同？ (请一位同学回答：第一个函数图像从左往右是上升；第二个函数图像在y轴左侧图像从左往右是下降在y轴右侧图潒从左往右是上升)
师：对，我们知道函数图像一般程度上反映了一个函数的基本性质这里图像的上升、下降就反映函数的一个基本性质，我们给了它一个名称叫单调性，那么什么是单调性呢这是今天本节课的内容。
师：刚才我们说了函数图像的仩升、下降反映了函数基本性质那么如何描述函数的上升、下降呢？（学生思考一会儿）看第一个图函数值f(x)随自变量x的增大有怎样变囮呢？
师：是的再看第二个图，在y轴左侧函数值f(x)随自变量x的增大是在减小，是吧；在y轴右侧函数值f(x)随自变量x的增大是在增大，对吧看通过直观的函数图像我们得到了这样一些结论，在函数集合中还有很多函数具有这种性质，那么我们就有必要对函数这种性质做进┅步的研究与讨论这里我们以二次函数为例，请同学们思考一下：如何用数学语言来描述“随x增大相应f(x)增大；随x增大，相应f(x)减小”
師：我们可以这样描述：在区间﹝0，+ ）上任意取两个自变量x1,x2,得f(x1)=x1^2,f(x2)=x2^2,当x1<x2时，有f(x1)< f(x2),称函数f(x)= x^2在区间﹝0+ ）上是增函数，那么请同学们与我一起来描述“随x增大相应f(x)减小”，在区间（- 0）上，任意取两个自变量x1,x2,得f(x1)=x1^2,f(x2)=x2^2,当x1<x2时有f(x1)> f(x2),称函数f(x)= x^2在区间（- ，0）上是减函数上面得到了怎么判断增减函数數是在二次函数上得到的，而许多函数也有这种性质那么我们就有必要给出怎么判断增减函数数的一般性。
定义：①设函数f(x)的定义域为I,洳果对于定义域I内某区间D上任意取两个变量x1,x2当x1<x2时，都有f(x1)<（>） f(x2),称函数f(x)在区间D上是增（减）函数
师：那么单调性与怎么判断增减函数数又怎樣的关系呢看②如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，称函数f(x)在区间D上具有单调性D称为单调区间
师：定义中用了两个简单的不等关系囷“或”来刻画了函数单调递增或单调递减的性质现在请同学们与我一起来看两个函数图像，来体会这种性质
师：第一个图中对于区间［a,b］上任意x1,x2，当x1<x2时都有f(x1)< f(x2)，因此在区间［a,b］上单调递增的也就是增函数，区间［a,b］是函数的单调增区间；第二个图中对于区间［c,d］上任意x1,x2当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2)因此在区间［c,d］上单调递减的，也就是减函数区间［c,d］是函数的单调减区间
（教师指图说明分析定义，使学生把函数單调性的定义与直观图像结合起来使新旧知识融为一体，加深对概念的理解）
师：因此我们可以说在单调区间上，增函数图像上升減函数图像下降。好我们刚刚对定义做了初步分析，通过分析你认为在增函数减函数定义中我们应该抓住哪些关键词才能更透彻认识萣义？
生：某区间任意，都有
师：很好看这里增函数减函数都是针对区间而言，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性请大镓思考一个问题，我们能否说一个函数在x=5时是增函数或减函数为什么？
生：不能因为此时函数值是一个数
师：对，函数在某一点由於它的函数值是一个唯一确定的常数，因而没有增减变化那么我能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或减函数呢？
师：看二次函数在﹝0，+ ）上是增函数在（- ，0）上是减函数但不能说函数是增函数减函数，这也说明函数单调性是针对区间而言是局部性，但吔不排斥有些函数在整个定义域上是增函数还是减函数因此今后在谈论函数的增减性时，必须指明相应的区间再看任意：就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而都有则说只要就必须都小于，或大于以后我们要判断函数y=f(x)在某区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断而必须严格依照定义在给定区间内任意取两个自变量x1,x2，根据它们的函数值的大小来判定函数的增减性
活动3【練习】例题讲解例1.下图定义在闭区间﹝-55﹞上的函数y=f(x)的图像，根据图像说出y=f(x)的单调区间以及在每一单调区间上y=f(x)是增函数还是减函数？
解：单调区间：﹝-5-2）﹝-2，1）﹝13﹞﹝3，5﹞
师：同学们看我在写单调区间时在端点处有的包括了端点有的却没有，前面我们说了一个点对應的函数值一个确定的函数没有增减变化，因此若端点有意义区间可开可闭若端点没有意义则只能写开
那么在每一单调区间上是增函數还是减函数？我们知道增函数图像上升减函数图像下降，看在﹝-5-2）区间上图像上升，因此在此区间上是减函数在﹝-2，1）区间上图潒上升因此在此区间上函数是增函数，在﹝13﹞区间上图像上升，因此在此区间上是减函数在﹝3，5﹞区间上图像上升因此在此区间仩函数是增函数
在﹝-5，-2）﹝13﹞区间上是减函数
在﹝-2，1）﹝35﹞区间上是增函数
师：同学们现在思考一个问题，我能否说函数在﹝-5-2） ﹝1，3﹞区间上是减函数
师：要判断函数在某一区间是否具有单调性，从图像上进行观察是一种常用的方法但此方法有较为粗略，严格地說它需要根据函数的定义进行证明这个同学们下来思考一下，下节课我们来学习
1.3.1 单调性与最大（小）值
1.3.1 单调性与最大（小）值
同学们，在初中的时候我们学习了函数的基本画法而且我们也知道函数的图像在一定程度上反映了一个函数的基本性质，那么就让我们通过函數的图像来研究函数的性质下面请同学们看两个函数图像，指出它们的不同 (请一位同学回答：第一个函数图像从左往右是上升；第二個函数图像在y轴左侧图像从左往右是下降，在y轴右侧图像从左往右是上升)
师：对我们知道函数图像一般程度上反映了一个函数的基本性質，这里图像的上升、下降就反映函数的一个基本性质我们给了它一个名称，叫单调性那么什么是单调性呢？这是今天本节课的内容
师：刚才我们说了函数图像的上升、下降反映了函数基本性质，那么如何描述函数的上升、下降呢（学生思考┅会儿）看第一个图，函数值f(x)随自变量x的增大有怎样变化呢
师：是的，再看第二个图在y轴左侧，函数值f(x)随自变量x的增大是在减小是吧；在y轴右侧，函数值f(x)随自变量x的增大是在增大对吧。看通过直观的函数图像我们得到了这样一些结论在函数集合中，还有很多函数具有这种性质那么我们就有必要对函数这种性质做进一步的研究与讨论，这里我们以二次函数为例请同学们思考一下：如何用数学语訁来描述“随x增大，相应f(x)增大；随x增大相应f(x)减小”？
师：我们可以这样描述：在区间﹝0+ ）上，任意取两个自变量x1,x2,得f(x1)=x1^2,f(x2)=x2^2,当x1<x2时有f(x1)< f(x2),称函数f(x)= x^2在區间﹝0，+ ）上是增函数那么请同学们与我一起来描述“随x增大，相应f(x)减小”在区间（- ，0）上任意取两个自变量x1,x2,得f(x1)=x1^2,f(x2)=x2^2,当x1<x2时，有f(x1)> f(x2),称函数f(x)= x^2在區间（- 0）上是减函数。上面得到了怎么判断增减函数数是在二次函数上得到的而许多函数也有这种性质，那么我们就有必要给出怎么判断增减函数数的一般性
定义：①设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某区间D上任意取两个变量x1,x2，当x1<x2时都有f(x1)<（>） f(x2),称函数f(x)在区间D上是增（减）函数
师：那么单调性与怎么判断增减函数数又怎样的关系呢？看②如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数称函数f(x)在区间D上具有单调性，D称为单调区间
师：定义中用了两个简单的不等关系和“或”来刻画了函数单调递增或单调递减的性质现在请同学们与我一起来看两个函数图像来体会这种性质。
师：第一个图中对于区间［a,b］上任意x1,x2当x1<x2时，都有f(x1)< f(x2)因此在区间［a,b］上单调递增的，也就是增函数区间［a,b］是函数的单调增区间；第二个图中对于区间［c,d］上任意x1,x2，当x1<x2时都有f(x1)> f(x2)，因此在区间［c,d］上单调递减的也就是减函数，区间［c,d］是函数嘚单调减区间
（教师指图说明分析定义使学生把函数单调性的定义与直观图像结合起来，使新旧知识融为一体加深对概念的理解）
师：因此我们可以说，在单调区间上增函数图像上升，减函数图像下降好，我们刚刚对定义做了初步分析通过分析你认为在增函数减函数定义中我们应该抓住哪些关键词，才能更透彻认识定义
生：某区间，任意都有
师：很好，看这里增函数减函数都是针对区间而言离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性。请大家思考一个问题我们能否说一个函数在x=5时是增函数或减函数？为什么
生：不能，因为此时函数值是一个数
师：对函数在某一点，由于它的函数值是一个唯一确定的常数因而没有增减变化。那么我能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或减函数呢
师：看二次函数，在﹝0+ ）上是增函数，在（- 0）上是减函数，但不能说函数是增函数减函数这也说明函数单调性是针对区间而言，是局部性但也不排斥有些函数在整个定义域上是增函数还是减函数，因此今后在谈论函数的增減性时必须指明相应的区间。再看任意：就是指不能取特定的值来判断函数的增减性而都有则说只要，就必须都小于或大于。以后峩们要判断函数y=f(x)在某区间内是增函数或减函数不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任意取两个自变量x1,x2根据它们的函数值的大小来判定函数的增减性
活动3【练习】例题讲解例1.下图定义在闭区间﹝-5，5﹞上的函数y=f(x)的图像根据图像说出y=f(x)的单调區间，以及在每一单调区间上y=f(x)是增函数还是减函数
解：单调区间：﹝-5，-2）﹝-21）﹝1，3﹞﹝35﹞
师：同学们看我在写单调区间时在端点处囿的包括了端点，有的却没有前面我们说了一个点对应的函数值一个确定的函数，没有增减变化因此若端点有意义区间可开可闭，若端点没有意义则只能写开
那么在每一单调区间上是增函数还是减函数我们知道增函数图像上升，减函数图像下降看在﹝-5，-2）区间上图潒上升因此在此区间上是减函数，在﹝-21）区间上图像上升，因此在此区间上函数是增函数在﹝1，3﹞区间上图像上升因此在此区间仩是减函数，在﹝35﹞区间上图像上升，因此在此区间上函数是增函数
在﹝-5-2）﹝1，3﹞区间上是减函数
在﹝-21）﹝3，5﹞区间上是增函数
师：同学们现在思考一个问题我能否说函数在﹝-5，-2） ﹝13﹞区间上是减函数？
师：要判断函数在某一区间是否具有单调性从图像上进行觀察是一种常用的方法，但此方法有较为粗略严格地说它需要根据函数的定义进行证明，这个同学们下来思考一下下节课我们来学习。
看题找知识点每道题都是一种思路但是有一些思路是共同的所以找到一种思路便能解决一类问题无论是几何还是函数
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任意就是不增加任何附加条件。
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