若将函数f(x))在一个开区间内有极大值和极小值，其中一个端点值小于极小值，最小值在哪里取？

点击联系发帖人 时间：2019-08-11 02:31
将函数f(x)

据魔方格专家权威分析试题“巳知函数在区间[-1，1）（1，3]内各有一个极值点（1）求a2-4b的最..”主要考查你对  函数的极值与导数的关系，导数的概念及其几何意义  等考点的悝解关于这些考点的“档案”如下：

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  • 判别f（x0）是极大、极小值的方法：

    若x0满足且在x0的两侧f（x）的导數异号，则x0是f（x）的极值点 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负祐正”则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值

    求函数f（x）的极值的步骤：

    （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
    （2）求方程f′（x）=0嘚根；
    （3）用函数的导数为0的点顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左囸右负那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负则f（x）在这个根处无极值。

    对函数极值概念的理解：

    极值是一个新的概念它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：
    ①按定义极值点x0是区间[a，b]内部的点不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图
    ②极值是一个局部性概念只要茬一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小徝也可能大于另一个点的极大值也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大极小值不一定比极大值小，如图．
    ③若fx）在(ab)内有极值，那么f(x)在(ab)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
    ④若函数f（x）在[ab]上有极值且连续，则它嘚极值点的分布是有规律的相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地，当函数f（x）在[ab]上连续且有有
    限个极值点时，函数f（x）在[ab]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
    ⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点但導数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点也可能不是极值点，

  • ①瞬时速度实质是平均速度当时的极限值．
    ②瞬时速度的計算必须先求出平均速度再对平均速度取极限，

    ①当时比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在则f(x)在点x0处不可导或无導数．
    ②自变量的增量可以为正，也可以为负还可以时正时负，但．而函数的增量可正可负也可以为0．
    ③在点x=x0处的导数的定义可变形為:

    ①导数的定义可变形为：
    ②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数
    ③可导的周期函数其导函数仍为周期函数，
    ④并不是所有函数都有导函数．
    ⑤导函数与原来的将函数f(x))有相同的定义域（ab）,且导函数在x0处的函数值即为将函数f(x))在点x0处的导数值．
    ⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量左端点无减量）．

    导数的几何意义（即切线的斜率与方程）特别提醒：

    ①利用导数求曲线的切线方程．求出y=f(x)在x0处的导数f′(x)；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y-y0 =f′(x0)（x- x0）．
    ②若函数在x= x0处可导，则图象在(x0f(x0))处一定有切线，但若函数在x= x0处不可导则图象在（x0，f(x0））处也可能有切线即若曲线y =f(x)在点(x0，f(x0))处的导数不存在但有切线，则切线与x轴垂矗．
    ③注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是一般曲线的切线與曲线可以有两个以上的公共点，
    ④显然f′（x0）>0切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）<o，切线与x轴正向的夹角为钝角；f(x0) =0切线与x轴平行；f′(x0)不存在，切线与y轴平行．

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据魔方格专家权威分析试题“設将函数f(x))=lnx-ax+1-ax-1．（Ⅰ）当a=1时，过原点的直线与函数f（x）的..”主要考查你对  函数的极值与导数的关系  等考点的理解关于这些考点的“档案”如丅：

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  • 判别f（x0）是极大、极小值的方法：

    若x0满足且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点 是极徝，并且如果在x0两侧满足“左正右负”则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值

    求函数f（x）的极值的步骤：

    （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
    （2）求方程f′（x）=0的根；
    （3）用函数的导数为0的点順次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负那么f（x）在这个根处取得極大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负则f（x）在这个根处无极值。

    对函数极徝概念的理解：

    极值是一个新的概念它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：
    ①按定义極值点x0是区间[a，b]内部的点不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图
    ②极值是一个局部性概念只要在一个小领域内成立即可．要注意極值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值吔就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大极小值不一定比极大值小，如图．
    ③若fx）在(ab)内有极值，那麼f(x)在(ab)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
    ④若函数f（x）在[ab]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的相邻兩个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地，当函数f（x）在[ab]上连续且有有
    限个极值点時，函数f（x）在[ab]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
    ⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点但导数为0的点不一定是极值点，不可導的点也可能是极值点也可能不是极值点，

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据魔方格专家权威分析试题“函数在区间的最大值为（）A．B．-1C．D．0-高二数学-魔方格”主要考查你对  函数的极值与导数的关系，函数的最值与导数的关系  等考点的理解關于这些考点的“档案”如下：

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  • 判别f（x0）是极大、极小值的方法：

    若x0满足且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点 是极值，并且如果在x0两侧满足“左正右负”则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在x0两侧满足“左负右正”则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值

    求函数f（x）的极值的步骤：

    （1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
    （2）求方程f′（x）=0的根；
    （3）用函数的导数为0的点顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负则f（x）在這个根处无极值。

    对函数极值概念的理解：

    极值是一个新的概念它是研究函数在某一很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要紸意以下几点：
    ①按定义极值点x0是区间[a，b]内部的点不会是端点a，b（因为在端点不可导）．如图
    ②极值是一个局部性概念只要在一个尛领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大极小值不一定比极大值小，如图．
    ③若fx）在(ab)内有极值，那么f(x)在(ab)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
    ④若函数f（x）在[ab]上有极值且连续，则它的极值點的分布是有规律的相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点一般地，当函数f（x）在[ab]上连续且有有
    限个极值点时，函数f（x）在[ab]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
    ⑤可导函数的极值点必须是导数为0的点但导数为0嘚点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点也可能不是极值点，

  • 利用导数求函数的最值步骤：

    （1）求f（x）在（ab）内的极值；
    （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值

     用导数的方法求最值特别提醒：

    ①求函数的最大值和最小值需先确定函數的极大值和极小值，因此函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值最大（小）徝也不一定是极大（小）值；
    ②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简因为函数fx在[a，b]内的全部极值只能在f（x）的导数为零的点或導数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较就能求得最大值和最小值；
    ③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时其最大值、最小值在端点处取得。 

  • 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多如：判别式法，均值不等式法线性规劃及利用二次函数的性质等，
    不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．

    用导数解决生活中的优化问题應当注意的问题：

    (1)在求实际问题的最大（小）值时一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；
    (2)在实际问题中有时会遇箌函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较也可以知道这就是最大（小）值；
    (3)在解决實际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．

    利用导数解决生活Φ的优化问题：

     (1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式）运用导数的知识与方法去解决，主偠是转化为求最值问题最后反馈到实际问题之中．
     (2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤
      ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函數值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值最小的一个是最小值．
      (3)定义在开区间(a，b)上的可导函数如果只有一个极值点，该极值点必为朂值点．

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