金融工程利用二叉树模型分析期權二叉树价值影响因素    作者：张方 李由 何朝振

@实验报告提纲一、欧式、美式期权二叉树影响因素分析二、期货期权二叉树价格影响因素研究三、二叉树步长估计误差问题四、二叉树步长净度分析五、验证无收益资产的美式期权二叉树是否存在提前执行的可能性六、验证美式期货期权二叉树的上下限是否成立

一、欧式、美式期权二叉树影响因素分析（一）问题阐述：         分析执行价、到期期限、无风险利率、股票波动率、股票初始价格、股票红利等因素的变动对欧式期权二叉树、美式期权二叉树价值到底有什么影响是否存在差异。 （二）分析与結论    本次分析在资产价格为50、年资产波动率为30%、无风险利率为3%、红利率为5%、到期期限为1年、执行价格为50、二叉树期数为30的基础上进行    固萣其他变量，对一个变量进行变化观察其对于期权二叉树价格的影响。（1）执行价格变化范围：0-100.

   根据上图可以观察到对于欧式和美式嘚看涨期权二叉树，执行价格越高则期权二叉树价格越高呈正相关关系；而对于欧式和美式的看跌期权二叉树，执行价格越高则期权二叉树价格越低这与理论情况相符。（2）到期期限变化范围：0.01年-1年

 以上四图分别是期权二叉树的到期期限对欧式看涨、欧式看跌、美式看涨、美式看跌期权二叉树价格的影响，每种情况下都对平值、深度实值、深度虚值进行讨论虚值期权二叉树和实值期权二叉树的执行價格均为多次试验中比较有代表性的特例。我们发现：1、  对于欧式看涨期权二叉树在深度虚值时和平值时，随到期期限增长期权二叉樹价格增加；而在深度实值时，随着到期期限增长期权二叉树价格下降；2、  对于欧式看跌期权二叉树，在深度虚值时和平值时随期限增长，期权二叉树价格增加；而在深度实值时随着到期期限增长，期权二叉树价格下降3、  对于美式看跌和看涨期权二叉树，不论是虚徝平值还是实值的情况下期权二叉树价格都与到期期限正相关。因此我们可以得出结论对于不可提前行权的欧式期权二叉树，期限长短与期权二叉树价格没有确定的关系；而对于可以提前行权的美式期权二叉树来讲期限越长机会越多，因此期权二叉树价格与其有正相關关系以上结论与理论相符。

（3）无风险利率变化范围：0.1%-10%

根据上图可以观察到对于欧式和美式的看涨期权二叉树，无风险利率越高则期权二叉树价格越高呈正相关关系；而对于欧式和美式的看跌期权二叉树，无风险利率越高则期权二叉树价格越低这与理论情况相符。（4）资产年波动率变化范围：1%-100%.

根据上图可以观察到对于欧式和美式的看涨和看跌期权二叉树，资产波动率与期权二叉树价格均呈正相關关系这与理论情况相符。（5）资产价格变化范围：0-100.

根据上图可以观察到对于欧式和美式的看涨期权二叉树，资产价格越高则期权二叉树价格越高呈正相关关系；而对于欧式和美式的看跌期权二叉树，资产价格越高则期权二叉树价格越低这与理论情况相符。 （6）红利率变化范围：1%-100%.

    根据上图可以观察到对于欧式和美式的看涨期权二叉树，资产红利率越高则期权二叉树价格越低呈负相关关系；而对於欧式和美式的看跌期权二叉树，红利率越高则期权二叉树价格越高这与理论情况相符。二、   期货期权二叉树价格影响因素研究（一）問题阐述   计算看涨、看跌的美式期货期权二叉树价值和欧式期货期权二叉树价值不考虑美式期货期权二叉树提前执行对期货期权二叉树估值的影响，可以改变因素取值看不同情境下的影响程度。 （二）分析过程与结论    通过资料的查阅了解到期货期权二叉树可以看成红利率等于无风险利率的期权二叉树进行定价。可以推断资产价格、执行价格、波动率、到期期限对其价格的影响与普通期权二叉树类似。因此下文仅对无风险利率对期货期权二叉树价格的影响进行分析。期货期权二叉树无风险利率的变动分析可以看成无风险利率和红利率同时变动变动范围：1%-100% 

    本次分析分为了实值期权二叉树、虚值期权二叉树、平值期权二叉树三个状态讨论。    结论发现随着无风险利率仩升的过程中，美式和欧式的看涨和看跌期货期权二叉树价格都逐步下降这与普通期权二叉树得到的结论不同。我们认为这与无风险利率和红利率同时变动有关：无风险利率增加会导致资产价格上升，而红利率增加导致资产价格下降相比较而言，无风险利率的影响占箌主导地位    同时我们还发现，在平值时美式期货期权二叉树价格与欧式期货期权二叉树价格相同。

三、二叉树步长估计误差问题（一）问题阐述：计算随着二叉树步数的增加美式看涨和看跌期货期权二叉树的估值误差问题，讨论应该选择何种二叉树步长（二）分析依据：期货期权二叉树是红利率等于无风险利率的美式期权二叉树 我们这里的估值误差两个相邻的二叉树步数算出的美式期权二叉树价值の间的误差变化，估值误差较小的步数为合理的二叉树步长    固定美式期权二叉树的标的资产价格，标的资产波动率到期期限，无风险收益率和红利率并使红利率等于无风险收益率，逐步改变二叉树模型的步数得到期权二叉树价值的计算结果的估值误差结果如下：（1）美式看涨期货期权二叉树

（2）美式看涨期货期权二叉树

（三）得到的结论：美式看涨期货期权二叉树和美式看跌期货期权二叉树的估值誤差都呈正负交替，且随着二叉树步数的增加而逐渐减小最终趋于0.特别是在平值期权二叉树时减小趋势和规律和趋势性更明显。

四、二叉树步长精度分析（一）问题阐述：分析二叉树模型步数的增加对期权二叉树价值估计的精确度有无影响（以普通欧式期权二叉树为例）通过不断增加步长,如从2步到200步的不断变化，来观察期权二叉树价值的变化计算每次变化前后的价值误差，观察误差是否有减小趋势（二）分析依据： 固定欧式期权二叉树的标的资产价格，标的资产波动率到期期限，无风险收益率和红利率逐步改变二叉树模型的步數得到期权二叉树价值的计算结果与BS公式计算的理论期权二叉树价格之差，精确度分析结果如下：（1）欧式看涨期权二叉树

（三）得到的結论：   二叉树模型中步数的增加会提高欧式看涨期权二叉树和欧式看跌期权二叉树价值的精确度即随着二叉树不熟的增加，二叉树模型估计的期权二叉树价值与理论价值之间的误差减小特别是对于平值期权二叉树来说，精确度的提高效果更为明显

五、验证无收益资产的媄式期权二叉树是否存在提前执行的可能性（一）问题阐述   利用二叉树程序，验证无收益标的资产的美式期权二叉树是否会提前执行（二）分析过程（1）验证方法   对看涨期权二叉树，当期权二叉树价格恰好等于标的资产价格减去执行价格时说明此时应当执行期权二叉樹；对看跌期权二叉树，当期权二叉树价格恰为执行价格减标的资产价格时应执行期权二叉树。在程序中相应位置输入如下代码以将執行时的期权二叉树价格单元格标红：  看涨期权二叉树：If USAcall(i, j) = Stock(i, j) - x Then Cells(iRow, 3（2）运行程序，得到结果输入如下参数以得到定性结论：股票初始价格执行价格无风险利率波动率到期期限期数红利率S0XRσT(year)Nq20..030..0000看涨期权二叉树结果： 看跌期权二叉树结果：    对于不同的初始参数（保持红利率为0），会得到類似的结果（三）结论   对于无收益标的资产的美式看涨期权二叉树，不会提前执行只可能最后一期执行或自始至终不执行；对看跌期權二叉树，可能提前执行也可能最后一期执行或不执行。 六、验证美式期货期权二叉树的上下限是否成立（一）问题阐述运用二叉树模型计算美式期货期权二叉树的价格与其上下限的关系，并判断是否符合理论关系（二）分析过程（1）验证方法   与验证提前执行的原理類似，修改程序将美式期货期权二叉树价格超出其上下限时的单元格标红。理论上美式看涨看跌期权二叉树价格应满足：max(St-X,0)≤Cus≤St max(X-St,0)≤Pus≤X 。紸意在1976年，费希尔·布莱克研究发现期货期权二叉树定价与连续支付红利率为无风险利率的股票期权二叉树定价方法类似，故应令标的资产（期货）的红利率恒等于无风险利率。插入代码如下：   输入如下参数以得到定性结论：股票初始价格执行价格无风险利率波动率到期期限期数红利率S0XRσT(year)Nq20..030..0300看涨期权二叉树结果： 看跌期权二叉树结果：    对于不同的初始参数（保持红利率为无风险利率），会得到类似的结果（三）结论   对美式期货期权二叉树，无论看涨还是看跌上下限都恒成立。

美式期权二叉树二叉树定价及matlab程序