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中级微观经济学讲义xzl
参考教材 沃尔特.尼科尔森：《微观经济理论―基本原理与扩展》第9版，北京大学出版社，2008年第1版。
西南财经大学2011年秋季
中级微观经济学讲义
主 讲 人: 邢 祖 礼
西南财经大学经济学院西方经济学研究所Email: xingzuli@swufe.edu.cn
从现象到理论：方法论
一、复杂而多样性的现象1、问题1：经济学研究什么？资源配置？人的行为？消费者、生产者、政府？2、问题2：人的选择行为的约束条件：（1）理性（最大化与精于计算）；自利与利他主义？自私的基因？亚当.斯密的解释：生存竞争的需要。（2）资源禀赋；（3）技术；（4）制度（特别是政治制度）；（5）意识形态。3、问题3：自然现象与经济现象（社会现象）有何不同？作为物体的人，与作为能动性的人。不会预期后果的物体与有预期能力并作出反应的人。4、有关经济学家们三个笑话：经济学家流落荒岛（假设）；经济学家乘飞机（边际变化）；经济学家脑花的价格（简单化）。“但在这种主张中有一点是真的，即，一切有关事实的科学描述都具有高度的选择性，它们总是建立在理论基础之上。这种情形最好通过与探照灯加以比较而得以描述。要使事物变得可见，要依赖按照灯的位置，我们所指的方向、灯光强度、色彩等。当然在很大程度上也依赖于被照的物体。同样，一种科学的描述在较大程度上也依赖于我们的观点、我们的兴趣，而这些通常与我们希望检验的理论或假设有关，尽管它也建立在所描述的事实基础之上。实际上， 1理论或假设可被称为是一种观点的结晶。因为如果我们试图形成我们的观点，那么，这种形成通常就是被称为‘工作上的假设’，这也就是说，它是一种暂时的假定，它的功能就是帮助我们选择和安排事实。但是我们应该清楚，在这种意义下，没有任何理论或假设不是‘工作上的假设’，无一例外。因为没有一种理论是终极的理论，同时每一种理论都在帮助我们选择和安排事实。一切描述都具有选择的特性，这使得它在某种意义上是‘相对的’。”----摘自 卡尔.波普尔：《开放社会及其敌人》（第二卷），中国社会科学出版社，1999年第1版中第二十五章?历史有意义吗？?pp.392-393.二、理论是什么？1、理论是一个逻辑体系。马克思经济学与现代经济学。核心假设、概念框架，（马克思：价值；现代经济学：自利人）。向马克思致敬！
2需求定律？不太确定的规律。3、理论构造：简单与复杂。?如果理论对于所要解释的问题处理得太复杂，那么理论将崩溃并变得难以管理；如果设计得过于简单，那么理论则忽视了重要角色和变量。不存在简单的答案，……..任务是采取适当简单化的形式。?----摘自阿兰.斯密德《制度与行为经济学》，中国人民大学出版社，2004年第1版，p.350.4、检验理论。（1）直接法，检验假设前提；（2）间接法，检验理论推导出来的含义。比较静态分析，这是经济学分析中的重点和难点。三、经济学中几个重要的争论？1、演绎主义与归纳主义，谁更重要？个人经验。?而且我承认，与那种伪装成精准但却可能是谬误的知识相比较，我宁愿接受那种虽不完美却真实的知识，即便它会使许多事情都处于不确定的和不可预测的状态。的确，那些看似简明但却错误的理论往往会因为表面上遵循那些公认的科学标准而得到人们的赞誉，但是正如我们所列举的那种理论的情势所表明的那样，这种虚名却会导致极为严重的后果。?----摘自冯.哈耶克：《哈耶克论文集》，首都经贸大学出版社，2001年第1版，p.389.32、经济学?数学化?是进步还是倒退？从萨谬尔森的《经济分析的数学基础》到库兹涅茨的名言?如果投入的是垃圾，产出也必然是垃圾?。数学的精确性与被忽视的约束条件，孰更能够增进知识。3、经济学是解释世界，还是改造世界？实证与规范。白天鹅变成黑天鹅。马背上划条纹变斑马（张维迎）。?我相信，这是经济学家使用我所称谓的‘黑板经济学’方法的结果。我们所考虑的政策是在黑板上贯彻实施的政策。所有需要的信息被假设可以得到，教师扮演了所有的角色。他确定价格、征收赋税、发放补贴（在黑板上），从而促进一般福利。但在真实的经济体系中，根本就没有和教师相似的实体，没有人被委托执行黑板上的任务。无疑，在教师思维的背后（或者有时是前头），存在这样的想法：在真实的世界中，政府可以满足教师所扮演的角色要求。但是，在政府部门内部没有一个实体能够细致、审慎地管理控制经济活动以调节一个地方的行为能和另一个地方的生产协调一致。在真实生活中，我们有很多不同的企业和政府代理，它们都有各自的利益、政策和权力，政府通过设立（或撤销）政府代理、改变法律义务关系、引入许可证安排、授权给法院以解决某些事务的权限、对某一产业进行国有化（或解除国有化）等方式来执行经济政策，它要做的就是在各种社会制度中进行选择。毋庸置疑，黑板经济学是高水平学术能力的一种运用，它可能在发展经济学的能力 4方面有一定作用，但考虑经济政策时，它会误导我们的注意力。因此，我们需要考虑经济体系在不同制度结构中的运行状况，这就要求一种有别于当前大多数经济学家所使用的方法。?----摘自罗纳德.科斯：《企业、市场与法律》，上海三联出版社，2009年第1版，pp.18-19. 四、一点数学知识1、函数；一元函数、二元函数、多元函数、隐函数。（1）y=f(x); （2）y=f(x1,x2); （3）y=f(x1,x2,…….,xn); （4）f(x,y)=0;2、导数、一阶导数、二阶导数、偏导数；微分；（1）y'(xlimf(x0?h)?f(x0)0)=f'(x0)=h?0h；一阶表示斜率。（2）y''(x2y/dx20)=d；二阶表示曲率或加速度。（3）y'x1(x1,x2)=f'x1(x1,x2)??y(x1,x2)/?x1；y'x2(x1,x2)=f'x2(x1,x2)??y(x1,x2)/?x2（4）y''2/?x2x1x1(x1,x2)=f''x1x1(x1,x2)??y(x1,x2)1；y''x2x2(x1,x2)=f''x2x2(x1,x2)??2y(x1,x2)/?x22；y''x1x2(x1,x2)=f''x1x2(x1,x2)??2y(x1,x2)/?x1x2，杨格定理。（5）dy=f'(x0) dy=fx1'(x1,x2)dx1?fx2'(x1,x2)dx2；5
（6）f(x,y(x))=0; y'(x)=-fx(x,y); fy(x,y)（7）泰勒二阶展开式：f(x1)=f(x0)+f'(x0)?x+3、凸集；凹函数与凸函数、齐次函数。 1f''(x0)?x2. 2（1）对于一个集合S而言，如果任意两点x,y都属于S，且点x,y之间的线性组合而成的点m=?x+(1-?)y,??[0,1],也属于S，则我们说集合S是凸集；（2）简单地说，如果一个函数它的二阶导数小于0，我们就说它是凹函数；如果二阶导数大于0，我们就说它是凸函数。（3）齐次函数表示为：f(tx1,tx2)=tkf(x1,x2),其中最为重要的是零次齐次和一次齐次。4、数学模型：外生变量（参数）、内生变量（选择变量）、目标函数；5、最优化模型：无约束条件（厂商利润最大化）与有约束条件（面积最大化）；拉格朗日乘数法。6、包络定理；欧拉方程。（1）包络定理：y=f(x,a),必须注意，其中x为选择变量，而a为外生参数。显然，通过最优化，选择x来最大化（或最小化）y使得x*=x(a)，如果要求dy/da,则可将y=f(x,a)对a求偏导，并令x=x(a)即可，即：dy/da=?y(x,a)，并令x=x(a)求得。 ?a（2）欧拉方程：如果函数f(x1,x2)是一次齐次函数，则有：6f(x1,x2)= ?f(x1,x2)?f(x1,x2)x1?x2。 ?x1?x2证明：因为函数f(x1,x2)是一次齐次函数，有：f(tx1,tx2)=tf(x1,x2),两边同时对t求导，?f(tx1,tx2)?f(tx1,tx2)x1?x2?f(x1,x2)然后令t=1,?tx1?tx2可得上式。7教师：邢祖礼， 年级：2011，类型：A班方法论及数学知识的练习题
31、已知函数y=ax-8x+10,其中a为参数，x为自变量，请求出：（1）一阶条件、二阶条件，并判断此函数有极大值还是极小值。（2）利用隐函数定理，将一阶条件表达为a的函数形式。（3）利用包络定理，求当a变化一个单位时y会变化多少单位。2、设f(x,y)?xy，在x+y=1的约束条件下用两种方法求最大值：（1）代入消元法；（2）拉格朗日乘数法。3、上一题的对偶问题是给定xy=0.25，求x+y的最小值。用拉格朗日乘数法求解。比较这两题中得出的拉格朗日乘数的大小，并解释其关系。24、垂直向上抛球，t秒后高度为?0.5gt?40t（其中g为重力加速度）。A、达到最高点时t为多少？表示成g的函数；B、用A中的结果解释当g发生改变时，最高点高度如何变化？C、用包络定理求解B;D、在地球上g=9.8米/秒，但不同的地方略有不同，如果两地g相差0.1，球能达到的最大高度大约相差多少？8第二章：偏好、效用函数与消费者的选择一、消费者行为模型MAXU(X1,X2)X1,X2S.T.P1X1?P2X2?m.二、偏好的几个性质1、完备性；completeness，清楚界定所有可能性。2、自反性；reflexivity，两个完全相同的篮子，不应该认为不一样。3、传递性；transitivity，逻辑推导与实际观察结果不应该矛盾。4、单调性；monotonicity，好商品越多越好。5、凸性；convexity，边际替代率随着商品消费量增加而递减。简单地说，这个性质说明，消费者偏好不走极端，偏好两种商品的组合而不是只偏好某种商品，喜欢米饭加回锅肉，而不是只喜欢米饭或者只喜欢回锅肉。定义：对于选择集合S中任意两个向量x,y,z,如果x??z, 且y?=z,则令m=?x+(1-?)y,??[0,1],那么必定有:m?=z.6、局部非饱和性；local nonsatiation，无差异曲线应该很细吧。7、连续性：continuity，有点?近朱者赤，近墨者黑?的味道。三、效用函数存在吗？9在选择集合中，对于任意的两个商品组合x，y满足以上的一些基本性质。如果你喜欢商品组合x甚于y，那么对x向量的赋值u(x)应该大于对y向量的赋值u(y).存在着这样的函数吗？x??y?u(x)?u(y)。证明其存在性主要依赖于性质1，3，4，7。在选择集合当中，对于任意的两个商品组合x,y,势必存在着：x??0e且ae?=x;那么在[0,a]之间,必定存在着一个数值b,使得:x~be.同理,必定存在着一个数值c,使得:x~ce.因此,x?=y就意味着:be??ce=&b?c,最后令:b=u(x),c=u(y),有u(x)?u(y).得证.
四、几种典型的效用函数1、科布-道格拉斯效用函数；U(X1,X2)?X1X2?1??
边际替代率MRS=dx2/dx1??mu1/mu2(du?0),它是递减的,这是拟凹函数的含义。可以通过全微分来推导。du?u1(x1,x2)dx1?u2(x1,x2)dx2.因为du?0,则有:MRS=dx2/dx1??u1(x1,x2)/u2(x1,x2).dMRS/dx1??例子:u(x,y)=x2/3y1/3,求MRS和dMRS/dx.问题：边际替代率MRS与效用u的数值大小有关吗？与x数值大小有关还是与y/x比率有关？它们的经济含义是什么？你能一条
10边际替代率MRSL为一固定值比如-2或者-1/2的（x，y）的点的轨迹吗？
2、（拟）线性效用函数；
U(X1,X2)?X1?V(X2)U(X1,X2)?X1?V(X1/22)?x1?x2的图示如下：
3、里昂惕夫效用函数；
U(X1,X2)?min??aX1,bX2??
4、固定弹性的效用函数：U(X1,X2)?(aX?1?bX?2)1/?。五、预算约束线1、线性的；p1xi+p2x2=m
11x2?m/p2?(p1/p2)x1，斜率-p1/p2的经济含义是：增加一单位的商品1的需要减少p1/p2单位的商品2，因为收入是有限的，比p1=1,p2=2。
2、非线性的。某人拥有初始财富A元，同时按法律规定，他工作时间一天不得超过12小时。如果他正常上班8小时之内，则每小时工资为w元，如果超过8小时，则工资加倍。
六、求解需求曲线与间接效用函数MAXU(X1,X2)?X1?X21??X1,X2S.T.P1X1?P2X2?m.数，即： 求解此模型可得需求函数和间接效用函一阶条件：MRSx2,x1=u1/u2=p1/p2,或者u1/p1=u2/p2=?,?它们的含义是什么？
?du/dm,12X1(p1,p2,m)??m121、需求函数：X(p,p,m)?(1??)m 212p1X1(p1,p2,m)??mp2X2(p1,p2,m)?(1??)m它的消费特征是：（1）0次齐次函数；（2）用于两种物品的消费支出占总支出的比例固定，分别为：?,1??；（3）商品之间没有价格的交叉效应。
2、间接效用函数：V(p1,p2,m)?(V(p1,p2,m)?(?1??1??)?()m，若??1，则p1p22?1??1??)?()m?， p1p2它的经济含义是：观测的变量p1,p2,m与偏好之间存在着稳定的函数关系。七、比较静态分析13?x(p,p,m)?m?p??21p1?x1(p1,p2,m)?p?02?x2(p1,p2,m)?p?01?x2(p1,p2,m)(1??)?p??m2
2p2?x1(p1,p2,m)?m??p1?x2(p1,p2,m)?m?(1??)p214第三章、斯卢茨基方程
一、成本最小化模型MinPh11?P2h2h1,h2S.T.U(h1,h2)?u.二、希克斯需求函数与支出函数h1(p1,p2,u)h2(p1,p2,u)e(p1,p2,u)?p1h1(p1,p2,u)?p2h2(p1,p2,u).，你能区别马歇尔需求函数与希克斯需求函数吗？画图示之。
三、一个求解思路（希克斯分解与斯卢茨基分解）1、斯卢茨基分解：以 x0为标准来区分收入效应；2、希克斯分解：以 u0为标准来区分收入效应。
151/21/23、一个例子：已知 u(x,y)=xy,在初始状态下，px=1 , py=2 ,而收入m=100，现在假定价格px和m不变而py由2下降到1，请对此变化进行希克斯分解和斯卢茨基分解。（1）首先利用效用最大化模型，求出初始状态即：px=1 , py=2 ,m=100时均衡的x和u。00
p(px,py)?p(1,2); 00x0(1,2,100)=（50，25）；
u0(1,2,100)?。（2）然后再次利用效用最大化模型，求出变化后即：px=1 , py=1 ,m=100时均衡的x1和u1。p1(px,py)?p1(1,1)x1(1,1,100)?(50,50);u1(1,1,100)?50。通过（1）、（2）可以求出价格py变化的总效应为：?x?x1?x0?(50,50)?(50,25)?(0,25).11（3）斯卢茨基分解：用变化后的价格p(px,py)?p(1,1)购买x0(50,25)??需要的收入m'为：m'=px=(1,1)(50,25)=75. 10T可以发现，价格py下降使消费者的收入增加了25（即100-75）。再次利用效用最大化模型，求出当价格为变化后的价格p1(1,1)和收入为m'=75时均衡的x'。16x'(1,1,75)?(37.5,37.5)。此时价格变化通过斯卢茨基方法得出的替代效应为x'-x0，而收入效应为x1-x'，即总效应可分解为：?x?x1?x0?(x'?x0)?(x1?x')?x?(0,25)??(37.5,37.5)?(50,25)???(50,50)?(37.5,37.5)??x?(0,25)?(?12.5,12.5)?(12.5,12.5).（总效应）=（替代效应）+（收入效应）（4）希克斯分解：利用支出最大化模型，求出变化后的价格为p
1(1,1)而保持原有的效用水平u0?h（希克斯需求）和支出e为：
h(1,1,?(35,35);e(1,1,?70.可以发现，价格py下降使得收入增加了30（即，100-70）。因此通过希克斯方法得出的替代效应为h-x0，剩余的便是收入效应x1-h： ?x?x1?x0?(h?x0)?(x1?h)?x?(0,25)??(35,35)?(50,25)???(50,50)?(35,35)??x?(0,25)?(?15,10)?(15,15).四、斯卢茨基方程h1(p1,p2,u)?x1(p1,p2,p1x1?p2x2);h(p,p,u)?x(p,p,px?px).两边同时对p1,p2求偏导数，有：17?h1(p1,p2,u)?x1(p1,p2,p1x1?p2x2)?x1(p1,p2,m)?x1(p1,p2,m)???x1;?p1?p1?p1?m?h1(p1,p2,u)?x1(p1,p2,p1x1?p2x2)?x1(p1,p2,m)?x1(p1,p2,m)???x2;?p2?p2?p2?m?h2(p1,p2,u)?x2(p1,p2,p1x1?p2x2)?x2(p1,p2,m)?x(p,p,m)???x1112;?p1?p1?p1?m?h2(p1,p2,u)?x2(p1,p2,p1x1?p2x2)?x2(p1,p2,m)?x2(p1,p2,m)???x2.?p2?p2?p2?m
?x1?x1?h1??p1?x1?p1;?p1?m?x1?x1?h1??p2?x2?p2;?p2?m?x2?x2?h2??p1?x1?p1;?p1?m?x2?x2?h2??p2?x2?p2.?p2?m五、斯卢茨基方程的意义1、正常商品、低劣品与吉芬商品之分；?x1?h1?x1??x1;?p1?p1?m?x2?h2?x2??x2.?p2?p2?m2、海塞矩阵；18?x?h?x??x1;?p1?p1?m?x1?h1?x1??x2;?p2?p2?m?x2?h2?x2??x1;?p1?p1?m?x2?h2?x2??x2.?p2?p2?m??h1??p1?海塞矩阵DH=??h??p?1代矩阵。3、可积性问题：从需求曲线到效用函数。海塞矩阵DH对称的负半定的，如上即要求：
?h1??p2???h???p2?，也称为替?h1?h2?h1?h2?h1?h2?h2?h1?0,?0,??0. =且?p2?p1?p1?p2?p2?p1?p2?p1根据前面所求解有：19?x1(p1,p2,m)?m??2?p1p1?x1(p1,p2,m)?0?p2?x2(p1,p2,m)?0?p1?x2(p1,p2,m)(1??)m?? ?p2p22?x1(p1,p2,m)???mp1?x2(p1,p2,m)(1??)??mp2其海塞矩阵为：??h1??p1???h??p?1?h1??p2???h?=?p2????p1??(1??)? ?m?2p2????(1??)m2??p1?(1??)x???p2??x2检验一下该矩阵是否满足上面所需要的条件呢？另外，你能否发现该矩阵所具有的更多的性质呢？试一试p(p1,p2)DH。六、引入资源禀赋时的斯卢茨基方程1、商品价格下降后的选择。禀赋为W（w1,w2）20
2、修正的斯卢茨基方程。（反映商品1为例）?h?x1?x11??p?p1?(x1?w1)?p11?m3、劳动供给的比较静态分析。?R?R?w?替代效应?(R?R)?m？
（+）（+）
七、显示性偏好弱公理211、弱公理：如果我们能够观察到价格向量序列p,p,...,p和对01Tx,x,...,x应的消费的购买数序列，则对于其中任意两个购买向01Tststx,x量,如果x显示偏好于x，则ssstpx?px，x必不可能显示偏好于x。也就是说，如果ts则必有ptxs?ptxt。2、弱公理与需求法则
22第一次作业交作业时间：下一次上课之时11u(x,x)=lnx+lnx2 , x1, x2都是大于零的实数，1、设请证明：12122x1 , x2都是边际效用递减。如果将以上效用函数u通过单调递增函U(x1,x2)=x12x22 ,请问x1 , x2还是边际效用递减的吗？数f复合成：但是两个效用函数的边际替代率MRS有变化吗？现在你能注意到对偏好函数进行单调变换的前提条件是什么了吗？2、为了证明无差异曲线的凸性，一种方法是证明在一条满足U=k的无差异曲线上的任意两点（x1,y1）、（x2,y2）和点（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）上的效用不小于k。试用这种方法讨论下面三个无差异曲线的凸性，并将你的结果用图形表示出来。A、u(x,y)=min(x,y);B、u(x,y)=max(x,y);C、u(x,y)=x+y。3、假设一个快餐爱好者的效用取决于三种商品中：软包装饮料（x），汉堡包（y）和冰激凌（z）。根据科布―道格拉斯效用函数，有 10.50.50.5u(x,y,z)=xy(1+z)
2同时假设这些商品的价格为px=0.25,py=1,pz=2,且消费者的收入为I=2。23A、说明当z=0时，效用最大化的选择是多少？同时说明z&0（哪怕z非常小）时的任何选择都会使效用减少。B、你如何解释z=0时达到最优这一事实？C、为了购买z，这个人的收入要有多高？4、假设一个人对面包（y）和可乐（x）的偏好可以用下列效用函1u(x,y)=xy,在初始状态下，px= , py=2 ,而收入I=40，数来表达：2现在假定可乐的价格px由上升到1，请进行希克斯分解和斯卢茨基分解。5、消费者需要一定量的食品（x）来维持生存，假设这个量为x0。一旦购买x0的食品，消费者将从食品与其他商品（y）得到的效用为 12u(x,y)=?ln(x-x0)+?lny ,其中?+?=1.A、说明：如果I&pxxo，则为了取得最大效用，消费者将会在食品x上花费?(I?pxx0)?结论。B、在这个问题中，如果收入增加，pxx/I和pyy/I的比值将会怎样变化？6、消费者在三年中的消费行为如下表：
pxx0,在商品y上花费?(I?pxx0).解释这个24这一消费行为是否符合显示性偏好定理？
第四章、不确定条件下的选择
一、如何表达不确定性？1、抽彩与复合抽彩（1）抽彩：L(0.5,0.5;100,-50),L(p,1-p;a1,a2)（2）复合抽彩：L(1/4,3/4;L'，0)；L'（1/4，1/2，1/4；100，0，-40），L(1/16,7/8，1/16;100，0，-40)
（3）阿莱莱问题的表达：C=0.25A+0.75L0;D=0.25B+0.75L0.
262、抽彩空间（1）L：得200元的可能性为0.7；0元的可能性为0.3.（2）L'：得1200元的可能性为0.1；-150元的可能性为0.9。（3）抽彩空间S?R+：（，0，-150）； 4L：（0，0.7,0.3,0；0，200，0，0）=L：（0.7,0.3；200，0）； L'：（0.1,0,0,0.9；，-150）=L'：（0.1,0.9；1200，-150）。 最好的抽彩L（1，0；1200，0）；最差的抽彩L（0，1；0，-150）。二、抽彩的几个基本性质1、连续性:对于抽彩空间上的任意的抽彩L，L'，L''，集合：{??[0,1]:?L?(1??)L'L''}?[0,1]和{??[0,1]:L''L?(1??)L'}?[0,1]问：如果抽彩满足连续性，抽彩空间中的任意抽彩L，L'都可以用最好的抽彩L和最差的抽彩L来表示吗？即是否存在着??[0,1],??[0,1]，使得：
是闭集（连续的，有界的）。L??L?(1??)；L'??L?(1??)。2、单调性：如果抽彩L，L'满足连续性，则L?L'意味着：
???3、独立性：对于抽彩空间上的任意的抽彩L，L'，L''，有：
L?L'当且仅 ?L+(1-?)L''??L'?(1??)L''。三、冯诺依曼-摩根斯坦效用函数271、预期效用函数形式：U(L)=p1u1+p2u2+...+pnun。2、存在性定理：如果建立在抽彩空间上的偏好?满足前面所说的连续性、单调性和独立性，则存在着一个预期效用函数形式，使得：LL' 当且仅当：?pu??p'nnn?1n?1NNnun。3、线性变换：V(L)=?U(L)??。V(L),U(L)表示的是同样的抽彩偏好，即：线性变换并不改变偏好次序。四、风险的类型1、风险规避，确定性等值?) （1）u(w?c)?U(L)?U(w?x（2）确定性等值 c(w,x)。?
（3）计算：一个人拥有初始货币财富为w元，他现在得到一个抽彩的机会：有1/2的可能性增加一个小的收益?，也有1/2的可能性损失收益?，请写出此抽彩的确定性等值c(w,?) 的表达式，并计算确定性等值c(w,?)对?的二阶偏导数，当??0，c''(w,0)是多少？
28（4）参与抽彩条件：已知u(w)和先验概率分布(p,1?p), (x1,x2)为相应的小金额抽彩结果，问：(x1,x2)满足什么条件才会使当事人参与抽彩？u(w)?EU(L)?pu(w?x1)?(1?p)u(x2)求出当x1=0,x2=0 时的 x'2(x1)是多少?并解释其含义。2、风险中性：u(x)?ax?b3、风险喜好五、测量风险1、绝对风险规避系数u''(w)（1）rA(w)??u'(w)（2） u(x)??e??x；u(x)?lnx2、相对风险规避系数u'(w)（1）rB(w)??wu'(w)（2）u(x)?
lnx；u(x)?六、方差-期望效用函数（1）u(x)??x2??x（2）如果此效用函数代表风险规避者的偏好，作图就会发现：??0,且 x?[0,??/2?].29
(3) Eu(x)?E(?x2??x)??Ex2??Ex???2??x.此抽彩的预期效用值只取决定于其分布的方差?2和期望值x。（4）张五常在《佃农理论》（）中说，分成租佃制可以降低风险，增加总的预期效用，你能稍作解释吗？比如，地主和农民都是风险规避者，且拥有相同的方差-期望效用函数，另外，他们将农业收获物对半分。A）如果一方承担风险，则产出x总的预期效用为：Eu(x)???2??xB）如果双方都承担一半风险，则产出x总的预期效用为：
2Eu(1/2x)?2[(1/4)??2?(1/2)?x]?(1/2)??2??x。显然，因为??0，所以Eu(x)?2E(1/2x)。（5）如果将方差-期望效用函数简化为：
Eu(x)?x???，其中??0。
230那么，请作出预期效用Eu(x)?10,15,20时（?，x）无差异曲线群。
问：你能说明为什么无差异曲线的形状是上面的情形吗？七、保险某人拥有一个初始财富w元，他面临火灾的可能性为p，一旦发生火灾，则他将损失d元。他可以一份购买保险，投保金额由投保人自己选择（设为x），但保费率由保险公司给出，为t元/每元投保金额。投保人想最大化其预期效用。模型为：MAX EU(L)?(1?p)u(w?tx)?pu(w?d?tx?x)。 x31练习题：1、已知（1）抽彩L：得200元的可能性为0.3；-100元的可能性为0.7.（2）抽彩L'：得1000元的可能性为0.2；得-300元的可能性为0.6，得0元的可能性为0.1。a) 请写出抽彩空间S，它是几维的？b) 请写出抽彩L和L'，以及L,L；c) 请问：你相信抽彩L和L'可以由L,L来表达吗？如果相信，抽彩应该满足什么性质呢？2、如果一个预期效用函数呈现不变的绝对风险规避，使得对于所有的w，rA(w)= ?,它必须有什么样的函数形式呢？3、拥有初始财富w元的驾驶员决定是否合法停车，如果他决定合法停车，他将保留他的初始财富w；如果他非法停车，他可以节省时间，时间价值为h元，但有p的概率收到罚单。如果收到罚单，则他必须交纳f元的罚金。（1）如果他决定合法停车，那么h和f之间满足什么关系？（2）我们定义H(p,f):给定概率p和罚金f,当他非法停车所节省的时间价值为H(p,f)时，合法停车与非法停车对他而言无差异。利用比较表态分析，请问p和f变动对H(p,f)有怎样的影响？4、如果无风险的报酬率是6%，某种风险资产的报酬率为9%，报酬的标准差为3%，那么，如果你愿意接受的标准水平是2%，你能够获得的最大报酬率是多少？风险价值是多少？32第五章、生产与企业理论
一、生产集1、投入产出向量：y?y(y1,y2,...,yi,...,yn)，yi?0,表示产出量；yi?0,表示投入量。y(1,?2,)，y(2,4,0,?7,?5,?1)2、生产可行集Y：Y={y:T(y)?0}3、转换边界：{y:T(y) ?0}。Y={y:T(y1，y2)?0}
Y={(-Z1, -Z2,y):y-f(Z1, Z2)?0}
二、技术的性质1、No free lunch。如果y?Y,且 y?0,则y?0。即：Y?R?L?{0}。2、Free disposal。如果y?Y,且 y'?y，则 y'?Y。即：Y?R?L?Y。3、Free entry。如果y?Y,且 y'?Y，则y?y'?Y。即：Y?Y?Y。4、Convexity。如果y?Y,y'?Y，且??[0,1]，则?y?(1??)y'?Y。5、Nonincreasing returns to scale。y?Y,?y?Y对于任意的??[0,1]。
336、Nondecreasing returns to scale。y?Y,?y?Y对于任意的??1。7、边际产量与平均产量。?q?q?资本的边际产量为MPk??fk.?l?lk qf(l,k)qf(l,k)劳动的平均产量APl??;资本的平均产量为APk??.llkkq?f(l,k),劳动的边际产量MPl?8、等产量线和边际技术替代率。
dkq?q0.dl边际技术替代率MRST(l对k)= 它取决于产量和劳动与酱的使用量。边际技术替代率（l对k）等于劳动的边际产MPl. 量与资本的边际产量之比，即：MRST(l对k)=- ?MPk9、规模报酬。f(tl,tk)?tf(l,k)?tq.比如q?l?k1??,求出边际产量为kk MPl=?l??1k1????()1??;MPk?(1??)l?k???(1??)()??.ll对于规模报酬不变的生产函数，边际技术替代率似乎只与资本-劳动比率有关，而与它们各自的绝对值无关，其实生产函数是位似函数形式的都有这个特征。34证明：欧拉定理表明，对于规模报酬不变的生产函数q?存在：q?fl.l?fk.k。 f(l,k)，10、替代弹性。描述的是一种生产要素替代另一种生产要素的难易程度。沿着等产量线k/l比率发生变化，同时MRST（l对k）也在产生变化，替代弹性考察的是这二者之间的比例关系。??d(k/l)MRST?lnk/l?lnk/l.??.dMRSTk/l?lnMRST?lnfl/fk?lnk/l?1.?lnfl/fk 比如当q?l?k1??时,??11、固定投入比例的生产函数（???）与固定替代弹性CES生产函数。 q?min(al,bk),a,b?01q?(al?bk).?=。
当?=0时,生产函数回到科布-道格拉斯形式.三、利润最大化MAXp.yys.t.y?Y.?y(p)和?(p)?p.y(p)。y(p)为要素需求函数或产品供给函数;?(p)为利润函数.例子：如果某生产者拥有的生产技术为：Q=L1/2 K1/2,其中L、K为分别为生产要素劳动和资本存量，这些要素的市场价格和产品的市场价格均已知，分别为：w、r和p。求出均衡时的要素需求量和产品供给量，以及利润函数。35四、成本最小化Minw.zzs.t.f(z)?q.?y(p)和?(p)。z(w,q)为条件要素需求函数;，一旦成本函数被求出，则利c(w,q)为成本函数.润最大化模型可以变化为：MAXpq?c(q) q一阶条件为：p?c'(q*)。1、例子：如果某生产者拥有的生产技术为：Q=L1/2 K1/2,其中L、K为分别为生产要素劳动和资本存量，这些要素的市场价格已知，分别为：w、r，问：（1）假定该生产者准备生产的产量为Q=100,需要支出的最小成本为多少？（2）如果该生产者准备生产的产量为Q，最小的成本C为多少，即写出它的成本函数。2、假定一个公司有两个分厂，总产量q来源于各自生产的产量即：q= q1 + q2，它的成本函数各不相同，分别为：c1(q1)=1/4q12+ q1, c2=2q2。该公司如何分配产量q给两个分厂才会总成本最小？五、垄断厂商p(q)q?c(q) 1、MAXq一阶条件为：p[1?1/?d(q*)]?c'(q*)。例子：垄断厂商的毛产量为Qg，次品率为1-r,r?[0,1]，次品不能出售，假定成本函数为c(Qg),而产品需求为p(Qg(1-r)),求解均衡的产量和利润。362、成本加定价：p?c'(q*)/[1?1/?d(q*)]。税收对垄断价格的影响：p(q)?a?bq,c(q)?cq，t为税率。dp?1/2. dt3、垄断引起的额外净损失
六、价格歧视1、一级价格歧视：厂商能获得有关消费者需求的所有信息。MAXR?c(x)xs..t?p(t)dt?R?00x?p(x*)?c'(x*);同时, R=?p(t)dt,垄断厂商0x*选择x*产量出售，利润为A（如下图）。
2、二级价格歧视：厂商知道市场中有两类消费者（高需求者ph(xh)和低需求者pl(xl)），但不知道面前的购买者是哪一类，因此厂商
37通过设计不同的出售数量（xl,xh）和价格（Rl,Rh）来让消费者进行自选择，从而实现垄断厂商的利润最大化。
例子：已知市场中有两个不同消费者，其需求分别为：pl=15-xl； ph=20-xh。为了方便，假定垄断厂商的边际成本mc=0。垄断者如何设计两个价格（Rl,Rh）和出售量（xl,xh）来实现利润最大化？MAX?pl(t)dt??ph(t)dt??[ph(t)?pl(t)]dt xl,xh000xlxhxl代入已知的条件得：MAX?(15?t)dt??(20?t)dt??[(20?t)?15?t)]dt xl,xh000xlxhxlMAX10xl?1/2xl2?20xh?1/2xh2 xl,xh通过求解一阶条件，得：xl*?10,xh*?20根据题意有：R1??pl(t)dt??(15?t)dt?R2??ph(t)dt??[(20?t)?(15?t)]dt??(20?t)dt??5dt?010 最大利润=R1+R2=250。因此，垄断厂商设计的自选择的价格和出售量为：
38（Rl,Rh）=(100,150)(xl,xh）=(10,20)。3、三级价格歧视：垄断厂商通过某种方法获得两个类消费者的需求信息，并且使两类消费者之间不能套利。这相当于一个垄断供给者面临着两个市场独立的市场情形。MAXpl(xl)xl?ph(xh)xh?c(xl?xh) xl,xh求出一阶条件为：pl'(xl)xl?pl(xl)?cl'(xl?xh)?0
（1）ph'(xh)xh?ph(xh)?ch'(xl?xh)?0
（2）可知：MR(xl*)?MR(xh*)?c'(xl*?xh*)问：如果pl=15-xl，ph=20-xh，垄断厂商的边际成本mc=2。垄断厂商由于受到某种压力，只能统一定价，其情形会如何呢？显然：x(p)=15-p+(20-p)=35-2p。P(x)=35/2-1/2xMR（x）=35/2-x=2=MC,解得：x*=31/2,p*=39/4此时总利润为：961/8。而如果进行三级价格歧视，则：xl*?13/2;xh*?9pl*?17/2;ph*?11此时总利润为：617/4。显然大于统一定价时的总利润961/8。
39第二次作业交作业时间:下次上课之时
1、已知某个厂商的生产函数为q=L1/2。（1）请写出它的生产可行集Y，并图示之；（2）如果该厂商在生产产量时已经有沉没成本（比如L0=10），生产可行集该如何表示？图示呢？（3）该厂商的技术是凸技术吗？2、如果某生产者拥有的生产技术为：Q=L1/2 K1/2,其中L、K为分别为生产要素劳动和资本存量，这些要素的市场价格和产品的市场价格均已知，分别为：w=10、r=20。求出均衡时的要素需求量和产品供给量，以及最大化利润。3、一个垄断厂商面临的市场需求为：P=30-Q ，它的总成本曲线如下：C=2Q+Q2，求：（1）垄断厂商最大化利润时的产量是多少？（2）它的最大利润是多少？并用图形表示之。（3）其中的福利三角损失是多少？4、已知市场中有两个高低不同消费者，其需求分别为：pl=10-xl； ph=20-xh，并假定垄断厂商的边际成本mc=4。现在垄断者能够清楚区分谁是高需求者和谁是低需求者，可以进行一级价格歧视，它该如何生产产量和制订价格来实现利润最大化呢？405、已知市场中有两个不同消费者，其需求分别为：pl=15-xl；ph=20-xh。为了方便，假定垄断厂商的边际成本mc=0。现在垄断者不能够清楚区分谁是高需求者和谁是低需求者。（1）它该如何设计两个价格（Rl,Rh）和出售量（xl,xh）来实现利润最大化呢？（2）它能够将两个消费者剩余全部攫取吗？为什么？6、一个垄断厂商在两个市场出售产品，假设在第一个市场的需求函数是x1=a1-b1p1;第二个市场的需求函数是x2=a2-b2p2,其中x1,x2分别是两个市场的销售量，p1、p2是销售价格，假定垄断厂商的边际成本是0，请问：在参数（a1，b1，a2，b2）满足什么条件时，垄断厂商不选择价格歧视？41第六章、中国转型经济中企业的性质一、引言具体而言，近三十年来，中国转型经济呈现出以下三个?异常的?增长特征：高速度、粗放式和贫富差距扩大。对这些增长特征的理论解释一直是研究者的焦点，然而现有的研究文献遵循由浅入深的理论层次，或者分析其中一个特征，或者其中两个特征，未能为这三个?异常的?特征发展出一个逻辑统一的理论框架，为我们的经验事实提供更为深刻的洞察力。1、对中国转型增长分析的文献大多集中于技术分析，以索洛模型为基础进行展开，将增长源泉与生产要素供给联系起来（李扬和殷剑峰，2005；张军，2002；郭庆旺和贾俊雪，2005；易纲、樊纲和李岩，2003），以及对反映贫富差距的吉尼系数进行研究（傅勇，2005；陆铭和陈钊，2004；林毅夫和刘培林，2003；龚六堂和谢丹阳，2004；王小鲁和樊纲，2005）。2、钱颖一等学者从技术分析转向经济机制的分析，发展出一套?分权理论?，强调中国转型的成功与分权化改革密切相关，经济分权对微观经济个体产生了强大的激励效应。分权理论在解释中国的高速增长有一定的说服力，但它从理论上无法回答，为什么分权（特别是财政分权）必定就是一个?促好的竞争?？而且钱颖一等在论文中也指出了粗放式增长和贫富悬殊等另一些增长事实，分权理论强调激励机制却无法将其他重要的增长特征纳入其中。3、将政治机制分析引入视野，需要对地方政府的激励来源做更为深入的分析，才能准确地掌握分权与竞争的关系，而对地方官员激励的观察和分析必然要联系中国的政治制度和?官员治理?的重要特征才有望获得突破。Blanchard and Shleifer(2000)将中俄改革绩效的显著差异归结为中国集权政治的作用，认为中国的集权政治制度对?促好的竞争?起到了关键性的作用，一定程度弥补了钱颖一的分析缺陷；周黎安（，2006）和王永钦等（2007）借鉴Besley and Case（1995）的?标尺竞争?（yardstick competition）概念，发展出?官员晋升?的政治激励机制来解释为什么?高速度和粗放式?两个增长特征同时并存，对集权政治制度的认识和地方官员行为的分析向真实世界向前推进了一步。但必须指出，这类分析没有严格将地方官员的行为分析建立在?个体主义?选择基础之上，缺乏对集权政治的内部结构和运行机制的全面了解，过分夸大官员晋升动机的刺激作用。4、中国转型增长过程中寻租活动盛行的事实迫使研究者对租金机制的作用进行重新思考，张军等学者发现，中国官员的腐败或者受贿行为并不一定与政府的作为相悖，他们的寻租活动似乎具有刺激地方经济增长的作用，并在城市基础设施建设的投资活动中得到有力的经验证据（张军和金煜，2005；张军，2006；张军等，2007；Mauro，1998；Tanzi and Davoodi，1997）。然而经验证据并不能够代表理论逻辑，张军等在中国的城市基础建设的投资活动中发现租金机制的作用，却没有将租金机制与集权政治背景联系在一起，更没有将从租金机制如何作用于企业的内在逻辑揭示出来，因此没有抽象出一个?一般化? 42的理论框架，无法从理论上回答，在中国政治集权条件下，租金机制为何在促进经济增长的同时，呈现出粗放式特征，而且还使贫富差距不断扩大？二、集权政治、潜产权与租金机制1、?潜产权?。?潜产权?概念的提出，抓住了集权与法律缺失两个重大的转型背景，使之变得具有分析性价值1，因为从中产生的?潜产权?成为研究地方官员行为的最重要的?约束条件?，使他们的行为变得容易分析。2、强势地位的?潜产权?。与外国市场经济中的政府性质极为不同的是，集权政治下地方官员具有强势地位，因而?潜产权?具有巨大的潜在价值，并且为了实现自身巨大的价值，一方面，寻租者运用自己作为界定产权的?裁判员?权利，避开游戏规则或曲解游戏规则来寻租，因此租金机制深刻影响着他们的行为。与周黎安的?官员晋升?模型和Besley and Case 的?标尺竞争?模型相比，租金机制更准确把握住了个体主义行为的本质特征，而且在笔者看来，租金机制具有包容性，因为官员晋升或连任意味着更大的或连续的资源调配权利，即更大的?潜产权?的租金价值。另一方面，?潜产权?的租金收益通过成本转移来实现，其价值大小由成本转移能力来决定，地方官员在获得租金收益的同时，也相应的承担此类租金所引起的私人成本。所以，分权政治中地方官员调配资源的机制仍然是价格机制，而集权政治中地方官员调配资源的机制是租金机制，这一重大区别是理解中国的地方官员对地方经济发展投入?过分的?热情的关键，地方经济发展与租金机制产生的激励效应紧密相连。三、租金机制融入企业：企业的性质传统企业理论建立在成熟市场经济和法律规则有效率运行的基础之上的，因此企业是纯粹?市场合约?性质，简单地说，企业是各种生产性要素的?纽接?，是人力资本与非人力资本的?合约?（张五常，1983；周其仁，2000）在此认识上，威廉姆森、哈特和霍姆斯特姆、詹森和麦克林、克莱因等新制度经济学家进一步深入研究了市场合约的?不完全性质?，提出?资产专用性?理论、?委托―代理?理论、?敲竹杠?理论等2，这些理论关注的是企业的治理结构，揭示了成熟市场经济中企业的核心特征，这一范式可以统称为Hart-Grossman-Moore范式，试图发展和应用企业理论的学者无不以此为底蕴。1、企业性质的改变。然而转型经济中?潜产权?的盛行，使得关注企业的治理结构变得无效，转型经济中的企业的性质已经改变。成熟市场经济条件下，各种生产性要素产权可以通过?市场合约?的纽接生产性企业的组织形式，通过寻找有效率的治理结构来实现生产效率和分配效率；然而在转型经济当中，在生产性要素产权之外产生了一个特殊性质的?潜产权?，?潜产权?和生产性要素产权一样，都力图最大化自身价值。这样，?潜产权?的大量介入，改变了整个转型经济中企业的?市场合约?性质，使得企业带有相当程度的租金色彩，此时企业的产权结构不同于完全市1 从历史经验来看，法律缺失可能是集权政治实践的结果，因此应该说二者是纵向关系而不是平行关系，但作者为了强调法律缺失对经济主体行为的重要影响，有意将其与集权并列，这种并列安排是从重要性而不是从逻辑关系考虑的。2 参见威廉姆森（1985）、格罗斯曼和哈特（1981）、霍姆斯特姆和哈特（1987）、詹森和麦克林（1976）、克莱因（1988）。43场化的企业的产权结构，此时的企业，既不是周其仁所说计划时代的完全非市场合约性质，也不是张五常所说成熟市场经济国家的市场合约性质，而是二者的混合，即?潜产权?与生产性要素产权的?纽接?（如下图），也就是说，企业是租金机制和价格机制的?混合体?。
四、转型经济增长的微观基础1、存量租金、增量租金与企业产出?潜产权?介入企业改变了企业的性质，对企业产出带来了与众不同的影响，传统寻租理论认为寻租和税收一样，会降低企业的产出，在整体上会妨碍经济增长，理由是：寻租是一种非生产性活动，它会减少人们对生产和投资的激励（塔洛克，1967；Shleifer and vishny，；Weingast，；施莱弗等，2004），这只看到了问题的一个方面。然而诚如布鲁纳（1985）所指出，企业的生产函数的特性敏感地依赖于社会政治环境，它实际上是行为主体对这些条件作出最优反应的结果3。集权政治下的微观企业无法排斥?潜产权?的存在，当?潜产权?和其他生产性要素产权结合在一起时，它的最优反应可能是?合谋分租?而不一定是?强行抽租?。因此，
4442、寻租与粗放式增长如果企业是价格机制与租金机制的混合，则企业的生产在这双重激励下高速度扩张，但这种扩张是粗放式而集约式的，为什么呢？如果企业完全以价格机制来配置资源，则产出是有效率的和社会福利最大的（根据福利经济学第一定理、第二定理）；而其中的租金机制要求资源流动以?租金最大化?为目标，它是对企业产出效率的偏离，对社会福利而言也是一种损失，更为重要的是它的成本转移功能，使得私人成本向社会成本转移，造成社会福利的更大损失。因此从微观基础角度上看，企业产出扩张越快，租金价值越大，其造成的社会福利损失越大，增长的代价也就越大，这就解释了为何中国GDP的增长速度远远高于社会福利的增长速度。3、?潜产权?的强势地位与贫富差距的异常扩大如果没有?潜产权?，企业的产出的?蛋糕?将在资本家与劳动者之间分配，分配比例既可以用马克思的观点来理解，也可以用?博弈论?的观点来理解，总之，分配比例主要取决于双方的?谈判势力?。然而，?潜产权?的介入，大大改变了资本家和劳动者的地位，分配比例将在三方中展开，取决于各自的?谈判势力?，寻租者可以超越市场条件，利用自己的强势地位和成本转移的?创租能力?，在谈判中占尽优势，分得?蛋糕?中较大的份额，资本家集财务资本和人力资本稀缺性的市场条件优势，分得剩余部分中的较大份额，劳动者仅能得到十分有限的小的份额。就静态来看，企业的分配差距就比较大，从动态来看，这个差距会越来越大，因为寻租者随着时间的变化，他不仅能够获得?潜产权?所带来的租金，而且可以将租金转化为企业的财务资本，从而获得?双重?利益。在国家的收入再分配政策中寻租者又掌握着大量资源调配权利，自然又会占尽优势（Alesina and Angeletos，2005），由此造成的寻租成本转移给社会当中的?弱势群体?，社会财富的分配会呈现畸形发展趋势，只要集权政治的条件不变，这种趋势很难扭转。如果说收入差距?异常?扩大是集权政治的必然逻辑，那么集权政治在利用租金机制刺激经济增长的同时，也让社会为此付出了巨大的代价，这些代价是：经济的粗放式增长和贫富悬殊。五、结论如果45第七章、局部均衡分析
一、竞争性均衡1、拟线性效用函数Quasi-linear utility function:ui(mi,xi)?mi??i(xi), xi 是一个消费产品, mi 是其他所产品的支出。这种函数形式暗含两个假设：(1) x产品没有收入效应，即x产品的边际效用独立于收入m；(2) x产品的价格不影响其他产品的价格。通过这两个假设，我们可以得出：其他产品的价格独立于x产品。2、需求:maxmi??i(xi)s.t.
mi?p?xi??i???ij[p?qj?Cj(qj)]
(*)j?1J从 (*)中, 我们有:mi??i???ij[p?qj?Cj(qj)]?p?xij?1J代入目标函数有：max?i(xi)?p?xi??i???ij[p?qj?Cj(qj)] xij?1J?*?
i(0)?p?xi?0?*
?i(xi)?p。46需求量 xi* 依赖于 p 并随着 p变化. xi* 独立于收入；市场需求X(p)??xi*(p), 它独立于禀赋分配和产权。i?1I3、成本函数: Cj(qj)，公司 j 最大化利润:?(qj)?maxp?qj?Cj(qj)。有： qj??(qj)?p?Cj?(qj)=0p?Cj(q*j)4、供给 q(p)=?q*j，依赖于 p。j?1J价格p= 边际成本或社会成本，即：对于每一个生产产量为正的企业，其边际成本都等于价格p。社会成本函数C(q): 生产q产量时的总成本，当q产量以有效率的方式分配给不同的企业。5、市场出清: x(p)=q(p).市场需求: x(p)??xi(p) *i?1JI市场供给: q(p)??q*j(p)。j?1x(p) 和q(p) 是连续函数，因此有解。47
福利定理给定 (x1,...,xI),?(1,...J)，效用可能性集合:
{(u1,...,uI):?ui???i(i)??m??cj(j)},帕累托效率?max?Iui。i?1IIJmax?ui?max??i(xi)??cj(qj)，令：i?1i?1j?1IJS(x,q)???i(xi)??cj(qj)―― 马歇尔总剩余。i?1j?1帕累托效率?最大化马歇尔总剩余，即最大化 ?IJ?i(i)?j(j)通过选择 (,)。 i?1?cj?1I(xi,qj)?Jmax?i(xi)??1?Cj(qj) ij?1s.t. ?IJxi??qji?1j?1IJJIL???i(xi)??Cj(qj)??(?qj??xi),xi?0,qj?0
i?1j?1j?1i?148 3,?L??i?(xi)???0?xi?L??C?j(qj)???0 ?qj?xi?1Ii??qjj?1JF.O.C：?i?(xi)??C?j(qj)??j?xi?1Ii??qj?1J4、福利经济学第一定理：竞争性均衡是帕累托有效率的S(x,q)???i(xi)??Cj(qj)为马歇尔总剩余，总剩余最大化的条i?1j?1IJ件为：?i?(xi)???cj?(qj),i?1,...,I;j?1,...,J。而在市场均衡中有：?i?(xi)?p?cj?(qj),i?1,...,I;j?1,...,J。则令：??p就得到帕累托最优条件，因此竞争性市场是帕累托有效率的。二、税收的转嫁与社会福利净损失1、税收转嫁qd?a?bpdqs?c?dpsqd?pd?ps?t，qd?a,b,c,d,t都是正数。（1）求均衡时的需求价格和供给价格；49a?c?dta?c?btpd*?d?b;ps*?d?bq*?ad?bc?bdtd?b（2）如果政府想得到最大的税收收入，税率t应该是多少？总税收：T=tq*=ad?bc?bdtd?bt对T求t的导数并令其等于0，就得到均衡税率为：t*?ad?bc2bd。2、社会福利净损失(1)无税收时的均衡价格和产量，总剩余为：pa?c0?b?d;q?ad?bc0b?d?q S(q0[pq00)?0d(t)?ps(t)]dt??0[a/b?(1/b)t?c/d?(1/d)t]dt(2)社会福利净损失C+D（如下图所示）为：C+D= ?x0x*[pd(u)?ps(u)]du??x0x*[a/b?(1/b)u?c/d?(1/d)u]du
50三、自由进入与长期均衡1、自由进入：长期来看，一个行业中的生产技术可以被潜在的生产厂商获得，它们的生产成本为c(q)，一旦有利润机会，就会进入；另外,在位的厂商也可能退出该行业以寻求其他机会。这样形成长期竞争性均衡。2、长期竞争性均衡：此时，整个行业需要被决定的不仅有价格和产出水平，还有行业中厂商的数量。为了方便，我们假定行业中所有厂商都是同质的（identical），它们生产同样的产出，因此竞争性竞争可以被描述成（p,q,J）。p为市场价格，q为每个厂商的产出，而J为厂商的数量，有Jq=Q，Q为市场总的供给量。3、均衡条件：给定总需求x(p)和成本函数c(q)，对每一个潜在进入者有c(0)=0,一组向量（p*，q*，J*）是一个竞争性均衡，如果：p*?q?c(q)；--------------利润最大化 （1）maxq（2）x(p*)?J*q*；----------------供求相等（3）p*q*?c(q)?0。----------------自由进入条件例子：一个充分竞争的玩具行业有许多潜在竞争对手。每个厂商都有相同的、具有不变规模效益的生产函数。生产20个单位的产品时，企业的长期平均成本最低，其最低平均成本是每单位10元。该行业的总需求函数是x=1500-50p,p是玩具的市场价格。（1）求解长期竞争性均衡（p*，q*，J*）；51解：根据利润最大化原则，得出P=MC=AC=10,即均衡价格p*=10;均衡产出q*=20。根据供求相等原则，得出行业的总供给Q（10）=x（10）=1000，因此均衡的厂商数量J*=。解为（10，20，50）。（2）求行业的长期供给函数。???如果p?10;Q(p)??[0,?]如果p?10;??0如果p?10.52第八章、一般均衡（General equilibrium）一、交换经济中的均衡L种商品，没有生产，I个消费者，禀赋 ?i?(?i1,...,?iL)，配置 xi?(xi1,...,xiL), xi 不同于 ?i因为消费者可以相互交易，效用函数 ui(xi)。(1)消费者最大化效用。maxui(xi)s.t.p?xi?p??i(2)市场出清。?xi?1Iil???il i?1I例子：考虑两种商品\两个消费者的情形: I=2, L=2。?1?(?11,?12)?2?(?21,?22)?il: 消费者i 消费禀赋l。?1??11??21???12??2221、Edgeworth box：盒子的长度是 ?1，高度是 ?2。对于盒中的任12意一个x， x11?x21??,x12?x22?? ? 一个可行的配置。该盒子叫Edgeworth box。消费者1的预算约束: p1?x11?p2?x12?p1??11?p2??12
消费者2的预算约束: p1?x21?p2?x22?p1??21?p2??22
53这两个约束在 Edgeworth box中被同一条线代表。一个消费的者提供曲线由不同价格下他的最优消费束组成。
2、提供曲线：提供曲线是如何得来的？回忆一下在消费者行为模型当中，当价格变化时消费者选择的消费组合的变化轨迹。
3、均衡及其存在性：
给定禀赋点，首先画出两个消费者通过禀赋点的两条无差异曲线。给定消费者2通过禀赋点的效用水平，我们能够发现一个帕累托配置点：如图画出两条预算约束线Line 1和Line 2，给定每一条预算约束线，每个消费者都能够得到一个最优消费束。通过Line 1，商品2的超额需求是正的；通过Line 2，商品2的超额需求是负的；而连续性暗示必定存在着某些价格，使超额需求等于0 ? 均衡存在。55
4、帕累托效率：给定消费者1的效用水平，消费者2的效用是最大的。契约线：所有帕累托配置点的集合。
5、福利经济学第一定理在一个交换经济中，竞争性均衡是帕累托有效率的。证明: 假设 (x1*,...,xI*,p*)是一个竞争性均衡。假定 X*是非帕累托有效率的。那么存在着一个可行的配置 (y1,...,yI), 使得：
56*y1?x1,yi?xi*,fori?2,...,I假设偏好是连续的和严格单调的。令 y1??(1??)y1,yi??yi??I?1y1,??(0,1)yi?xi*?yi??xi*,fori?2,...,I(单调性)通过连续性，如果 ? 趋近于0,y1??x1*。可行性: ?yi???yi???ii?1i?1i?1III因为 xi* 是最优配置，则yi??xi* 意味着 yi? 不可能在预算约束线内，即:yi??xi*?p*?yi??p*?xi*加入不等式，有：p?yi??p?x?p??yi??p??xi*,也就是说,***i**i?1i?1IIp*???i?p*???ii?1i?1II这是矛盾的? X* 必定是帕累托有效率的。6、福利经济学第二定理*,...,xI*) 是一个帕累托有效配置，其中每个产品假定 X*?(x1的数量均为正，偏好是凸的、连续的和单调的。如果禀赋是 X*，则它就是一个竞争性均衡。对于任意一个帕累托有效配置*x*?(x1,...,xI*), 必定存在着某一禀赋 ???(?1?,...,?I?), 使得在给定??和 ??是可行时 x* 是竞争性均衡。
57二、生产：求解克鲁索经济在克鲁索经济中，只有一个人的生产与消费。他的初始禀赋是时间L和一定的生产果子的技术，果子的生产数量为y，消费量为C。如果克鲁索是一个计划者，则他会选择劳动时间l来生产果子y，并消费掉这些果子（y=C）来实现自己的效用最大化。此时假定他的偏好和生产技术相当一般：y?l?，闲暇R=L-l.1、计划者模型：Maxu(C,R)?C?R1??C,Rs..tR?L?l,C?l?. C*?l*???解出：l*? L，1?????R*?L?l*
2、市场机制
58通过市场机制，将这个问题分解成生产者与消费者问题。此时给定市场工资w和产品价格p，由于相对价格才是重要的，因此直接将价格p标准化为1。（1）生产者Maxly?wls.t.y?l?求解得：l*?(?)1/(1??),y*?(?)?/(1??)ww?*?y*?w(?1/(1??)w)（2）消费者MaxRu(C,R)?C?R1??C,s..tC?wR?wL??*解出得：C*??(wL??*),R*?(1??)(wL??*).3、市场出清C*?y*R*?L?l*，利用其中一个等式，就可解得w*：y*??(wL??*)，代入y*?(?w)?/(1??)，l*?(?w)1/(1??)，解得：w*??[1??(1??)(1??)??L]59代入l*?(l*??w*)1/(1??)得： ??L. 1?????可以与计划者比较，市场与计划是等价的。三、一般均衡的存在性问题一个配置（x*，y*）和价格向量p构成一个瓦尔拉斯均衡。如果：（1）对于每一个公司j ，yj*?Yj最大化公司利润，即：p.y?p.y*,对于所有的 yj*?Yjjj（2）对于每一个i，xi*?Xi 如下约束集中效用最大化的选择：??x?:p.x?p.w??p.y*
?iXiii?ijj?j??（3）?xi*??wi??yj*iij1、定义超额需求函数zp?z(p)???iizi(p)?xi(p,p.wi)?wi,z?p?函数的特性要求：a) 它是连续的；b) 对价格p是零次齐次的；c) p.z?p??0 对于所有的p;d) 对于一个任意s &0的值，存在着任意一个l和p，使得 zl?p???s。60n如果p?R是一个均衡的价格向量，当且仅当地 z?p??0。在?生产经济当中，z?p?表示为：z?p???xi(p,p.wi???ij?(p))??wi?i?yj(p) ijj如果均衡价格向量p存在，当且仅当 z?p??0。2、证明均衡的存在性（一）两种商品情形
（二）证明：多种商品情形（1）价格单形化。P(P1,P2,...,Pn)??p(P1,P2,...,PnPP)?p(p1,p2,...,pn)，有：iPiip1?p2?...?pn?1。（2）布劳渥不动点定理如果函数y?f(x)是连续的，且x?[0,1]，则f(x)?[0,1]，必定存在一个x*?[0,1]，使得f(x*)=x*。
61证：令g(x)=f(x)-x, g(x)是连续的,且g(0)?0,而g(1)?0,
因此必定存在一个x*?[0,1]，使得g(x*)=0，即：f(x*)?x*
（3）构造一个连续函数gi(p)，使得：gi(p)=pi?max[0,zi(p)],i?1,2,...,n. 1+max[0,zi(p)]i显然，p?[0,1]，gi(p)为连续函数且gi(p)?[0,1],对于所有的i. 根据布劳渥不动点定理，有：gi(p*)=pi*,对于所有的i?1,2,...,n.即：
pi*=通过简化有： pi*?max[0,zi(p*)],对于所有的i?1,2,...,n. 1+max[0,zi(p*)]ipi*.?max[0,zi(p*)]=max[0,zi(p*)],对于所有的i?1,2,...,n.i两边同时乘以zi(p*),i?1,2,....,n,然后相加得:?pii*.zi(p*).?max[0,zi(p*)]=?zi(p*).max[0,zi(p*)]，
ii62根据瓦尔拉法则 p.z?p??0，得到等式左边为0。即：?z(p*).max[0,z(p*)]=0 iii?0，（1）当z(p*)i?z(p*).z(p*)=0, z(p*)=0. iii)&0, ?zi(p*).0=0. （2）当z(p*i综合（1），（2）可得：zi(p*)?0.
证毕。四、核与核定理经济核与瓦尔拉斯均衡配置之间存在着联系.如下图:
随着经济日益变大，其经济核将收缩为只包含属于瓦尔拉斯的配置(Debreu and Scarf，1963)。复制经济（replica economy）：是这样一种经济，它具有有限个消费者的?类型?，每一类型的消费者有相同的人数，并且每一类消费者拥有的禀赋和偏好都是相同的。1、一个r重复制经济
63用?r表示，x表示第i 类型消费者中第q个人的消费量。 iq?r:x?(x11,x12,...,x1r;...;xI1,xI2,...,xIr)?1:x?(x11,x21,...,xI1)?(x1,x2,...,xI).2、核内的平等待遇如果x 是?r的一个核内配置，那么，第i型类的每个人必须拥有相同的消费束，即：对于每种i 类型i=1，2，…，I和每个 q,q?1,2,...,r,x证明：令I=2。 ,iq?xiq,。， x?(x11,x12,x21,x22);e?(e1,e1,e2,e2)x?x?x?x?2e?2e.现在假定x 并没有将相同的物品分配给同一类型当中的某些消费者，设不同的消费量为第1类型中的两个消费者的情形，且有：x11??x12,且x21??x22. 设新的配置为x:x'?(x,x,x,x),有:xxx'11(x?x12)21?(x21?x22),可得: 222?x12;x1222??x22.对于物品束 (x,x)，使得消费者12 严格改善且不使消费者22受损。根据假设有：x?x?(x?x)?(x?x22)?e1?e2. 22122264因此在(x,x)可获得的情况下，它对(x,x)是一个帕累托改善，则联盟S?(12,22)会抵制x ，这与x 处于核内相矛盾。因此x 必须赋予同一类型的每个人以相同的消费束。图示如下：
111222?xI,xI,...,xI??x,x,...,xx,x,...,xx??,...,?r倍r倍r倍?? ?来源于配置(x1,x2,...,xI)的r重复制.、收缩的核在每一类型只的一个消费者的基本经济中，?1为核配置。?1中的核包含一些瓦尔拉斯配置，而一些则不是，由x所标志的配置就不是一个瓦尔拉斯配置，因为通过x与e 的价格连线并不在x与无差异曲线相切。显然，x是二人经济的核配置，如果二人经济被复制成四人经济，复制的x仍然会处于四人经济的核内吗？不会。与e 点和x点相比，处于二者之间的连线上的点都被类型1的两个消费者偏好，因为他们的偏好是严格凸的。比如中点x。现在考虑三个消费者联盟S?(11,12,21)，类型1中的两个消费~~~~~~ 65
者拥有的消费束是x，类型2中的消费者21拥有x。与消费束x比较，有：~11~1111x=(e+x)?x2~12~1211x=(e+x)?x 2~~x~21~x~21.~21对于联盟S，物品束（x，x，x），我们现在考查它是否是一个可行的配置呢？根据前面的分析，可知x?x~12，有： 111~11~211~11~21x+ x?x?2(e?x)?x?e?x?x. 22由于x处于?1的核内，因此在经济上是可行的，有： ~x?x?e1?e2. 所以有： ~11~21x+ x?x12~21?2e1?e2.1112~21所以，就S联盟而言，配置（x，x，x）是可行，它比x的配置更好，而且没有人受损，因此在四人经济中，联盟S会抵制x，将其排除在?2的核之外。如果我们继续复制这个经济，会有更多消费者形成更多的联盟，将核内更多的点排除在外，核随着经济规模的增大而收缩。4、核定理 ~~66我们将发现，对于?r，核配置集合会随着r 的增加而收敛于其自身的瓦尔拉斯配置。根据平等待遇的性质，?r是?1的r 重复制，可知：对于?r，一个配置X 是一个瓦尔拉斯配置，当且仅当下式成立：???1122II?x???x,...,x,?x?,...,x,...,?x?,...,x? ????????????r倍r倍r倍??12Ix,x,...,x?并且对于1，这个配置（）是一个瓦尔拉斯配置。对于一个充分大的经济，只有瓦尔拉斯配置在核内。这就是核定理。换句话说，对于充分大的经济，如果x(x1,...,x1,x2,...,x2,...,xI,...,xI)是一个处于?r是的帕累托12Ix,x,...,x最优配置，它几乎也是瓦尔拉斯配置，因此（）是一个处于?1的瓦尔拉斯配置。如下图：
67第三次作业交作业时间：下下一次上课之时
1、假设市场上有两个消费者，他们的个人需求函数分别为：D1(p)?20?p和D2(p)?10?p，试求市场需求函数。2、代表性消费者的间接效用函数为m?v?p?，代表性厂商的利润函数为??p?，证明竞争性价格最小化v?p????p?。3、某种商品的市场需求曲线为D(PD)?100?2PD，供给曲线为S(PS)?3PS。（1） 假定政府对商品征收5元的数量税，均衡的数量和价格（PS和PD）将是多少？（2） 计算税收的额外净损失;（3） 假定政府征收税率为t，政府制定的最优税率t*是多少？4、已知某市场商品的需求方程是p?180?Qd，供给方程是p?160?Qs，求均衡价格与产量各是多少？政府补贴50元后，均衡产量、均衡价格、生产者实际得到的总价格、消费者实际支付的净价格是多少？5、行业中某企业的利润函数是：p2k?(p,k)??k;市场需求为:Q?294/p，k为资本规模，求： 16i（1）典型企业的供给函数（2）求长期均衡价格;68（3）证明：行业中单个企业的资本规模k会与行业中存在的企业个数成反比。6、在一个完全竞争的的市场上，有100位完全相同的消费者，每x2个人的效用函数为u(x,y)?x??y，其中x和y分别为两种商品的数2量，x的价格为p，y的价格为1，消费者的收入为比较大的某个值m。（1）写出对x的市场需求函数；（2）假定市场中有若干个具有相同生产技术的厂商，每个厂商的q2成本函数为c(q)??1，请问均衡时，该行业中有多少个厂商？市16场均衡价格和产量分别是多少？7、一个充分竞争的玩具行业有许多潜在竞争对手。每个厂商都有相同的、具有不变规模效益的生产函数。生产30个单位的产品时，企业的长期平均成本最低，其最低平均成本是每单位15元。该行业的总需求函数是x=2000-50p,p是玩具的市场价格。（1）求解长期竞争性均衡（p*，q*，J*）；（2）求行业的长期供给函数。8、证明：一个有n种商品的经济，如果n-1个商品市场上已经实现了均衡，则第n个市场必定出清。9、有一种两个消费者、两种物品的交换经济，消费者的效用函数和禀赋如下：69u1(x1,x2)?min?x1,x2?
e1?(30,0)e?(0,20)2。（1）求解瓦尔拉斯一般均衡；（2）如果禀赋状态为e1?(5,0),e2?(0,2)，重新计算一般均衡。10、在一个岛上，有200公斤粮食在两个人之间进行分配。第一个
人的效用函数是u1?x1是他的消费数量。对于第二个人，其粮食
消费的效用函数是u2? （1）如果粮食在两个人之间平等分配，他们各自的效用是多少？（2）如果他们的效用相等，粮食应该如何分配？（3）要使他们的效用之和最大，应该如何分配粮食？（4）假设第二个人能够求生存的效用水平是5，如果想要在满足第二个人最低效用水平的前提下使效用之和最大，粮食该如何分配？（5）假定两个人都赞成的社会福利函数为W?u11/2u21/2，那么在两个人之间应该怎么样分配粮食？11、如果?二、生产：求解克鲁索经济?中的??1/2,??1/2，运用计划和市场两种方式解出均衡解，并比较二者的结果。12、鲁宾逊靠捕鱼为生，
他的生产函数为F?其中F是鱼的数量，L是工作时间。他一天有10个小时用于工作或游泳。他对鱼和游泳的效用函数为u(F,S)?FS，其中S为游泳时间。问：
70（1）他的最佳捕鱼量是多少？工作时间是多少？（2）假设他按照市场方式来运作，成立一个追求利润最大化的公司来生产鱼，雇用自己的劳动，然后再用工资和利润从该企业买鱼，该市场假设为完全竞争型市场。问均衡价格是多少？此价格下的生产（消费）和工作量是多少？13、为什么?三、一般均衡的存在性问题?中被构造的函数gi(p)为连续函数且gi(p)?[0,1],对于所有的i=1,2,...,n?14、证明：如果（x,x,...,x）是?1的一个瓦尔拉斯配置，那么它的12Ir重复制也是?r中的一个瓦尔拉斯配置。15、在一个具有两类消费者的经济中，每类消费者各自的效用函数与禀赋为：u1q(x1,x2)?x1x2且 e1?(8,2)u2q(x1,x2)?x1x2且 e?(2,8)2（a）当每个类型只有一个消费者时，在埃奇渥斯盒中画出这个经济；（b）尽可能精确地刻画出这两个消费者所处的经济核； （c）表明：给出x11?(4,4)与x21?(6,6)的配置处于核内； （d）现在再复制一次这个经济，给出x11?x12?(4,4)，x21?x22?(6,6),请说明它们并没有在复制经济的核内。
71第九章、寡头
一、Cournot equilibrium (quantity competition) 2
identical products，P(Q)?a?Q;
Ci(Q)?CQi The 2 firms choose (Q1,Q2)simultaneously and indepen-dently.?1(Q1,Q2)?(a?Q1?Q2)?Q1?CQ1 ?2(Q1,Q2)?(a?Q1?Q2)?Q2?CQ2?
如果Q1?Q1?则得到均衡的结果。 Q1?Q2?Q1?2(Q1,Q2) Given Q1，maxQ2??2a?c?Q1
(Optimalresponse function) ?a?Q1?2Q2?C?0
Q2??Q22同理 Q1?a?c?Q2?联立可以得到: 2a?c* Q1*?
The intersection of the two optimal response curves gives (a?c)2us the NE.The equilibrium payoffs: ????
9*1*272Extended case: If n producers, what is the Cournot equilibrium? And when n??,some implications in the NE?Benchmark case: If the players can cooperate:(Pareto ef-ficiency) ?m?max?1(Q1,Q2)??2(Q1,Q2)=max(a?c?Q)QQ1,Q2Q(a?c)2??m?4(a?c)2(a?c)2**??????1??2?89?
and c1c2Qm?a?c2(a?c)*?Q1*?Q2?23Reason: Firm i doesn’t take count the affect of Qi? on others’ ?j?|p? (negative externality)Notes：In Cournot duopoly, the two producers’ strategies are strategic substitutes.二、Bertrand equilibrium:（price competition with homogenous product）2 all product Marginal cost of production is c，The 2 firms simultaneously and independently choose p1 and p2.p1*?p2*?c is a NE. and the NE is unique.三、Bertrand equilibrium:（price competition with different product）73d1(p1,p2)?a?p1?p2d2(p1,p2)?a?p2?p1， Marginal cost of production is c，The 2 firms simultaneously and independently choose p1 and p2.?1?(p1?c)?d1(p1,p2)max?p1?a?c?p22 a?c?p1?2?(p2?c)?d2(p1,p2)max?p2?2此时求得的均衡为：p1*?p2*?a?c（也可考虑，若p1?a?c，则p2?p1??即可获得全部市场，故相等构成均衡。）Notes: In Bertrand duopoly, the 2 players’ strategies are strategy complements.四、Hotelling model(Horizontal differentiation)? 2? product space is [0,1];? firm location: firm1 on a，firm2 on 1-b;? consumers distribute uniformly over [0,1];
74? each consumer purchase either and the payoff of a consumer is:
0如果不购买? 2??v?p?t(x??)
如果从位于x处的公司购买一单位(x=a,1-b).? cost:? firms first choose p1，p2，and then consumers choosebuy or not.(1) decides the binding ?* with given p1，p2和x: p1?t(a??*)2?p2?t(1?b??*)2,有:?*?p2?p11?b?a?.2t(1?a?b)2
Then 2 firms’ profit functions are expressed:?1(p1,p2)?(p1?c)?*(p1,p2)
?2(p1,p2)?(p2?c)(1??*(p1,p2))(2) choose p1,p2:
，得出： b?aMAX?2(p1,p2)p2p2*?c?t(1?b?a)(1?)3MAX?1(p1,p2)p1*?c?t(1?b?a)(1?（3）comparative analysis: a=b=0;a=b=1/2.a=1/4,b=1/2。五、Stackelberg Model (Generalized backward induction)Cournot duopoly game- simultaneous choice output Stackelberg duopoly game―sequential choice output t=1, firm1 (leader) chooses Q1t=2, having observed Q1，firm2 (follower) chooses Q2(Q1) 利用backward的方法：t=2
Given Q1，firm 2 choose Q2.max(a?Q1?Q2)?Q2?C?Q2 Q2*?Q2?a?c?Q1 (The follower’s optimal strategy (re-2sponse))t=1 firm1 chooses Q1?1?(a?Q1?Q2)Q1?C(Q1)?(a-c-Q1)Q12a?c (Leader’s equilibrium strategy) 2a?c?Q1a?c** (not strategy, the strategy is Q2),
?Q2??42(a?c)2*(a?c)2*,?2???1?。 816Q1??Comparison:76a?c*(a?c)2*Cournot: Q?Q?； ;?1??2?39a?c*a?c*(a?c)2*(a?c)2*Stackelberg: Q1?。 ;Q2?;?1?;?2?77练习题1、在一个斯坦格伯格（Stackeberg）双寡头市场中，一个厂商是?领导者?而另一个是?跟随者?，两个厂商都知道彼此的成本与市场需求。跟随者将领导者产出当做给定的，并依此来确定他自己的产出。领导者将跟随者的反应当做给定的并依此来确定自己的产出。假设厂商1与厂商2面临的市场需求为 p?100?(q1?q2)，厂商的成本是：c1?10q;c2?q22。（a）设厂商1是一个领导者，厂商2是跟随者，计算此时的市场价格和各自的利润。（b）假设厂商2是一个领导者，厂商1是跟随者，结论是否一样呢？（c）给出（a）和（b）的部分答案，厂商1希望谁成为市场的领导者？厂商2希望谁成为市场的领导者？（d）如果每个厂商假定它希望成为（c）部分的领导者，此时，均衡的市场价格与厂商利润是什么？在此市场上，它如何同古诺-纳什均衡相对比呢？2、一个由许多相同厂商组成的行业中，每厂商的成本函数是： c2?q22?1。当存在着J个积极的厂商且其中(J-1)个厂商各自均衡生产量为q时，市场的需求函数可表示为：p?10?15q?(J?1)q 。
78（a）如果不存在自由进入或退出的条件下，当厂商在选择产出时如同古诺竞争者那样行动，那么，一个代表性厂商的均衡产出q*是多少？（b）在长期内，有多少个积极的厂商留在行业中？3、在古诺模型中，已知市场中两个厂商都拥有的相同的固定不变的边际成本c=4，市场需求为：p?40?q1?q2。（a）求解古诺均衡；（b）如果两个厂商签订一个合谋协议而统一行动，然后平分市场利润，各自的均衡产量和利润是多少？（c）如果合谋协议签订后，每个厂商都认为对方会遵守协议（即认为对方会生产协议规定的产量），自己却暗自偏离协议规定的产量来实现自己更大的利润，结果提供给市场的总产量是多少？市场价格是多少？各自所得的利润是多少？此时各自的利润比合谋时的利润更多吗？（d）如果合谋协议签订后，厂商1守信用，而厂商2不守信用，并且厂商2知道厂商1守信用，此时厂商会生产的产量是多少？市场的价格是多少？各自的利润是多少？守信用会吃亏吗？合谋协议会长期遵守吗？79第九章、博弈论
一、博弈的基本要素1、what a game？ matrix（如图1）;The extensive form（如图2）.2
图2Write down the extensive form with the nature moves first. 囚徒困境（1） prisoners: 1 and 2；S1??C,Nc?,S2??C,Nc?. 其中，C→坦白；NC→不坦白； （2）80(s1,s2)?(u1,u2)(Nc,Nc)?(?1,?1)（3） payoffs:(C,Nc)?(0,?9)。(Nc,C)?(?9,0)(C,C)?(?6,?6)2、interdependence and strategies: each player’s payoff depends on what t and more importantly, each player’s optimal action depends on what he thinks the other will do. Thus, even the task of coordination can have a strategic nature。A strategy is a complete contingent plan that says what a player will do at each of her information sets if she is called on to play there。二、同时移动博弈（完全信息）1、占优策略与被占优策略（1）囚徒困境：2
s 1s2 C2Nc2 i1C1 Nc1 A strategy si? is a dominant strategy if ui(s*,s?i)?ui(si,s?i)for all si。2、严格被占优策略的剔除812
L C R M DPlayer 1 has
player 2 has no dominant strategy. But R strictly dominates C, because player 2’s payoff from R is always greater than that from C regardless of player 1’s action. In other words, C is strictly dominated by R, or C is a strictly dominated strategy。There is no dominant strategy in this game。Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategy (IESDS)。上例中：R?C?划去C后?U?MU?D?划去MD后?L?R?(U,L) Notes1：IESDS的前提是：It is Common Knowledge that the players are rational.如果对这一点有怀疑，结果可能会不同; Notes2：如果是弱占优情形,不能随意剔除弱被占优策略; Notes3：严格被占优策略的剔除适合于混合策略占优情形。如下图所示,这样的一个Game 无法用IESDS求解，但若定义?U
p????1???M
则?1比D占优，这就可以继续用IESDS求解，最后12得到纳什均衡（4，3）。82
1L R M D3、纳什均衡Consider normal-form game {I,Si,i?1,...,I}, strategy profile S*?(s1*,...,sI*)is Nash equilibrium，if for any playeri,*******ui(si*,s?i)?ui(si,s?i)for all si?Si, where s?i?(s1,...,si?1,si?1,...,sI).2
，U和L互为最佳回应，?(U,L)是一个纳什均衡。但D→L→U，所以D不可能是纳什纳衡的一部分。This game has an unique NE。(1)A profile of dominant strategy must be a Nash Equilibrium。83(2)If a game is solvable through IESDS, then the solution must be Nash Equilibrium。To find Nash equilibrium, we can always eliminate strictly dominated strategies first, without losing any equilibrium。Examples:(1)Battle of sexes。丈夫喜欢看足球，妻子喜欢看芭蕾，但双方都喜欢一起行动。S1?S2?{B，F}
NH F2B2 F1 B1F1→F2→F1：F1和F2互为最佳回应，（F1 F2）是一个纳什均衡；B1→B2→B1：（B1，B2）也是一个纳什均衡。The NE is not necessarilyunique。(2) The game of Chicken。两个人开车相向而行，先避开的人输，T：tough, W: weak。2
T W W两个纳什均衡（T，W），和（W，T）4、混合策略Mixed strategy84Example1：stone, scissors and papers2S1t
S2t S2cS2p?1S1c 1S1p ?2
S1t→S2c→S1p→S2t→S1c→S2p→S1t,没有一个简单的循环;但如果以相同的概率1/3出招，这也是一种纳什均衡，即混合策略（mixed strategy）：Playing various pure strategy with given probability。A mixed strategy of player i is a probability distribution over the pure strategy space Si。Example2:Matching pennies：两个人同时出硬币的一个面，相同则第一个赢，不同则第二个人赢，（H： T: Tale）
1H2 T2H1T1 85?1??假设mixed strategy is ：?H
1-q ?2??u1(?1,?2)?u1(H1,H2)?prob(H1,H2)?u1(H1,T2)?prob(H1,T2)?...Then
?pq?p(1?q)?q(1?p)?(1?p)(1?q)?(2p?1)(2q?1)Notes：We always assume that the distribution of pand q is independent.11??0
p???22??11?[0,1]
q?q*?[0,1]
p?Given q,? p*??；
And given ，
p??22??11??1
p???22??11(p*?,q*?) is the unique NE。
Example3: Battles of sexeswifeqBhusband
q??3?1[0,1]
q?Given q,p*?? ?3?1?1
q??3?同理可以解出q*,如图所示，有三个交点，除了（0，0）和（1,1）这两个纯策略的均衡之外，还有一个混合策略均衡（,）三、不完全信息博弈1、贝叶斯纳什均衡：Bayesian Nash Equilibrium(BNE)Incomplete information: information asymmetry exits even before the game starts and a player’s payoff function may be his private information. Cournot Competition:p(Q)?a?Q， Q?Q1?Q2C1(Q1)?c1Q1，C2(Q2)?c2Q2。If c1 is the private information of 2133firm 1, and c2 is the private information of firm 2, then this87is a game of incomplete information game。Simultaneous move and Sequential move。2、Cournot: simultaneous movep(Q)?a?Q; Q?Q1?Q2C1(Q1)?c1Q1
c1 is a constant；C2(Q2)?c2Q2。c2 is a random variable。This is a game of?cH
prob??incomplete information game。c2??，其中cH,cL?0.
prob?1-??LA player’s type is a description of his private in-formation.Cournot game with cost being privately known player i’s cost Ci is called his type。公司１的策略：Q1公司２的策略：（Q2H,Q2L）公司１的选择：Given （Q2H,Q2L）, Q1 is the optimal response:HL??max??(a?Q?Q)?cQ?(1??)(a?Q?Q)?c?12112????Q1 Q1??a?c??Q2H?(1??)Q2L最佳回应：Q1? 2公司２的选择：HH??max(a?Q?Q)?cQ12H2??H??type为ＣH时，Q2a?cH?Q1?Q?2H2同理cL时，?Q2L?a?cL?Q1 2解上以三个最佳回应函数，可以得到Q1，Q2H和Q2L的值。88四、动态博弈1、博弈树：An example: Entry gameAn incumbent monopolist；Entrant considers whether to whether to enter the market。After entry, the incumbent considers whether to initiate a price war。The game tree:
Entrant’s strategies S1?{E,NE}；Incumbent’s strategies S2?{F,NF}；If we represent the game in normal-form。
Finding the Nash Equilibrium:(F,NE)、(NF,E)。
89The sequence of moves is not reflected by a normal-form. Another way to describe a game is needed。In a sequential move game, we need to consider whether the chosen strategy of a player is credible after other players make their move，(NF,E) is a empty threat, it is not a sensible prediction。Elements in a sequential-move game:(1)players i?1,...,I；(2)Rules of moves；a\who is to move when (the timing of moves)；b\what does one know (e.g. about the history) when he is to move (information they have when they move)；c\what can one do when he is to move ( action they can take when they move)；(3)Payoffs。2、序列理性sequential rationalityOn entry game above, (NF,E) is a empty threat。To rule out the empty threat, we want to insist that players’ equilibrium strategies satisfy what might be called the principle of sequential rationality: A player’ strategy should specify optimal action at every point in the game tree。 90That is, given that a player finds herself at some point in the tree, her strategy should prescribe play that is optimal from that point given her opponents’ strategies。2、逆推法backward inductionThis type of procedure, which involves solving first for optimal behavior at the “end” of the game, and then determining what optimal behavior is earlier in the game given the anticipation of this later behavior, is known as backward induction。It is a procedure that is intimately linked to the idea of sequential rationality because it insures that players’ strategies specify optimal behavior at every decision node of the game。The backward induction procedure can be applied to capture the idea of sequential rationality with great ge-nerality and power: finite games of perfect information。
Case1: Entry gamebackward
use backward induction91
Notes:(1)Strategy：Player1’s strategy resulting from backward induction is R；Player2’s strategy resulting from backward induction is (b,c)；(2)Off equilibrium path：The line in brown is named ?equilibrium path? and the node ?1 is named ?off equi-librium path node, b is the off equilibrium path choice (action)。(3)Zermelo’s theorem: Every infinite game of perfect in-formation has a pure strategy Nash equilibrium that ca be derived through backward induction。Case3: Stackelberg duopoly game。3、子博弈完美均衡（SPNE）It is clear enough to apply the principle of sequential rationality in finite game of perfect information。It is useful to discuss another case that suggests how we might
92identify Nash equilibrium that satisfy the principle of sequential rationality in more general games involving imperfect information, known as the notion of a subgame perfect Nash equilibrium（SPNE）。问：下面的博弈中有几个子博弈？（2个）。
931、an unique equilibrium in post-entry subgameThe entry game above has an unique SPNE by firstidentifying the unique Nash equilibrium in the post-entry subgame(accept, accept), the backward induction is available to find SPNE，that is ((in, accept if in),accept if firm E in) 。
2、more than one equilibrium in post-entry subgame
94In following entry game, there exist two equilibriums in post-entry subgame：（a）(small niche, large);(b) (large, small niche)。3、SPNE在信任游戏中：威胁是否可信？
4、Stackelberg duopoly game―imperfect information。p(Q)?a?Q; Q?Q1?Q2C1(Q1)?c1Q1
c1 is a constant；C2(Q2)?c2Q2。c2 is a random variable。This is a game of?cH
prob??incomplete information game。c2??，其中cH,cL?0.
prob?1-??Lt=1, firm1 (leader) chooses Q1；t=2, having observed Q1，firm2 (follower) chooses Q2(Q1)。 利用backward的方法：t=2
Given Q1，firm 2 choose Q2；HH?max?(a?Q1?Q2)?cH??Q2Htype为ＣH时，Q2a?cH?Q1?Q2H(Q1)?2a?cL?Q1。 2 同理cL时，?Q2L(Q1)?t=1 firm1 chooses Q1Given （Q2H(Q1),Q2L(Q1)）, Q1 is the optimal response：
96Hmax??(a?Q1?Q2(Q1))?c?Q1?(1??)?(a?Q1?Q2L(Q1))?c?????Q1 Q1??解得：a??cH?(1??)cL?c； 2a??cH?(1??)cL将Q1*??c 代入前面的Q2H(Q1)，Q2L(Q1)则可解出： 2a?2c?(2??)cH?(1??)cLQ2H*(Q1)?;2 a?2c??cH?(3??)cLQ2L*(Q1)?.2Q1*?问：如果?=0，或1，这是什么意思？均衡解与完全信息情形的解一样吗？4、信念与序列理性（1）弱完美贝叶斯均衡 Weakly Perfect Bayes Equilibrium （WPBE）
The SPNE(also NE) are two:(out, fight if entry occurs) and(in1, accept if entry occurs)。But the SPNE(out, fight if entry occurs)fails to insure sequential rationality。
97Weakly Perfect Bayes Equilibrium (WPBE): WPBE is an equilibrium of a profile strategies and system of beliefs, the strategy profile is sequentially rational given belief system and the system of belief is derived from strategy profile through Bayes’s rule。WPBE in following entry game
(in1, accept if entry occurs)。(out, fight if entry occurs) is ruled out。
（2）WPBE may not be structurally consistent。The key point is that WPBE has not requirement for belief off the equi-librium path。Sequential equilibrium will overcome the inconsistent belief。
985、重复博弈Repeated gamesThe outcome of a single game: Stage game G;The outcomeof
repeating the single game T times: G(T)：Stage G repeatedfor T times。The stage game has a unique NE; F
The stage game has multiple NEs；
Infinite repetition。Case1: The stage game has a unique NE,回忆囚徒困境:
1 C C Nc Nc
先考虑第2次，与1次博弈一样，会选在唯一均衡点（-6，-6），这样，再考虑第1次，相当于每个payoff都加上-6。选择的结果不变，仍然选（C，C）。类似地，只要是有限次博弈，结果都一样。 Theorem: If the stage game G has a unique NE , then G(T) has a unique sub-game perfect equilibrium in which the stage game NE is repeated T times，the payoffs from different stages are added together。Case2:The stage game has multiple NEs2
2个纳什均衡（1,1）（3,3）。G(2)：Whether a ?desirable? outcome can be supported by a SPNE？Is it possible for the players to obtain (4,4) in the first stage in a sub-game perfect equilibrium?前提是：一定要第一阶段的博弈对第二阶段产生影响，才能改变结论。考虑这样一种对策：100S1?{play M in stage 1,in stage 2 play D if the 1 stage outcome stwas (M,C) and play U otherwise}；S2?{play C in stage 1,in stage 2 play R if the 1 stage outcome stwas (M,C) and play L otherwise}。?Trigger strategy?:
(1) Play NC in stage 1;(2) If no one has played anything other than NC in the history, continue to play NC；(3) Otherwise, play C。Both players use the ?trigger strategy? forms a SPNE, provided that the discount factor ? is sufficient large。 Two types of subgame：Type 1:
No one has deviated from NC in the history。 Type 2:
Some one has deviated from NC in the history。 Type 1:
Suppose your opponent uses the trigger strategy，If you follow the trigger strategy, then the maximum payoff is：
?1????2??3???C 1 Nc 1
1??101If you deviate (in the 1st stage), then the maximum payoff is0?6????2?????6? 1??The sufficient condition for following trigger strategy is：?16?1??
?? 1??1??6Type 2：Suppose your opponent plays the trigger strategy, that is, he will play C from now on。Then, your optimal response is C。102第四次作业交作业时间：下次上课之时
1、在一个斯坦格伯格（Stackeberg）双寡头市场中，一个厂商是?领导者?而另一个是?跟随者?，两个厂商都知道彼此的成本与市场需求。跟随者将领导者产出当做给定的，并依此来确定他自己的产出。领导者将跟随者的反应当做给定的并依此来确定自己的产出。假设厂商1与厂商2面临的市场需求为 p?100?(q1?q2)，厂商的成本是：c1?10q;c2?q22。（a）设厂商1是一个领导者，厂商2是跟随者，计算此时的市场价格和各自的利润。（b）假设厂商2是一个领导者，厂商1是跟随者，结论是否一样呢？（c）给出（a）和（b）的部分答案，厂商1希望谁成为市场的领导者？厂商2希望谁成为市场的领导者？（d）如果每个厂商假定它希望成为（c）部分的领导者，此时，均衡的市场价格与厂商利润是什么？在此市场上，它如何同古诺-纳什均衡相对比呢？2、一个由许多相同厂商组成的行业中，每厂商的成本函数是： c2?q22?1。当存在着J个积极的厂商且其中(J-1)个厂商各自均衡生产量为q时，市场的需求函数可表示为：p?10?15q?(J?1)q 。
103（a）如果不存在自由进入或退出的条件下，当厂商在选择产出时如同古诺竞争者那样行动，那么，一个代表性厂商的均衡产出q*是多少？（b）在长期内，有多少个积极的厂商留在行业中？3、占优策略一定是一个纳什均衡策略吗？纳什均衡策略也一定是占优策略吗？4、两个邻居看见一个小孩子在楼道里吵闹，很是影响休息。如果只要有一个人出来制止，吵闹就停止，但制止者需要付出一定的心理成本，因为小孩的父母与他（们）都是同事，小孩吵闹被外人制止被认为是伤面子的事。请把此故事简化成一个博弈形式，并相应地求出纳什均衡；如果有占优策略，请指出其存在的条件。5、我们已经看到，一个纯策略可严格占优另一个策略，混合策略也可以是严格占优纯策略并且它们也会严格占优其他混合策略。为说明这点，考虑如下的二人博弈。
（a）使你自己相信，局中人2的纯策略L或R并不会严格占优其他的纯策略M；104（b）局中人2以1/2的概率选择纯策略L与R的混合策略占优于纯策略M。6、求解下列博弈中的纳什均衡（包括混合策略纳什均衡）。
F2 H N B2F1 B1 7、利用backward induction求解下列博弈。
8、考虑以下的博弈扩展形式：
(a)求解SPNE，它是唯一的吗？(b)现在假定当局人2观察不到当局1的移动，写出此扩展形式，并求解纳什均衡集。105106腐败模型Simon Fan（2006）（第九章、?信息经济学?委托-代理模型的补充材料）其内容提要如下：政府与官员之间的寻租竞争，导致政府采取反腐败措施来阻止官员的寻租行为，以有利于自己获取更多的税金。工资激励和腐败控制是两种重要措施，如果控制技术相对有效的情况下，效率工资对消除腐败是有效的；如果控制成本过高，则高薪对于减少腐败的效果未必有效，这样，政府更多会采取保留工资，将防范措施转向税收和惩罚力度上。假定整个经济中存在两个人：政府和官员，政府追求净收益最大化，其净收益＝总收益减去总成本成，总收益就是租金t，但这种收入被假定是以某个概率的方式获得的，总成本由三部分组成：（1）支付给代理人官员的工资w；（2）对官员的控制成本A?2，A为系数，?为腐败官员被发现的概率；（3）惩罚成本比如看守监狱，假定与腐败数量b比例，即??b。此时官员的净收益为：工资收益加上腐败收益减去被惩罚比如判刑所负担的成本，为??b，?为与寻租数量相应的惩罚系数。我们继续假定企业如果进入，则获得一个固定的利润?，因此企业获得的净利润为??t?b，当b?t越大时，进入的企业越少，我们假定企业的净利润大于0以保证所有能进入 107的都进入，这样，官员将某个企业进入的可能性视}