&p&2014年的六月，我在知乎“&a href=&/question//answer/& class=&internal&&民用小型无人机的销售现状和前景怎么样？ - YY硕的回答&/a&”这个问题下面发布了一篇科普多旋翼飞行器技术的回答，在知乎上至今获得了889个赞同、近10万次浏览，并且被几十家媒体和公众号转发。2014年中正是多旋翼飞行器市场爆发前的风口，后来很多朋友告诉我说正是这篇文章吸引他们走入了多旋翼飞行器行业。&/p&&p&两年来，大疆精灵系列更新了两代，飞控技术更新了两代，智能导航技术从无到有，诸多新的软件和硬件产品陆续发布。同时我们也多了很多友商，现在多旋翼飞行器市场火爆，诸多产品琳琅满目，价格千差万别。为了理解这些飞行器的区别，首先要理解这些飞行器上使用的传感器技术。我觉得现在很有必要再发一篇科普文章，定义“智能导航”这个概念，顺便字里行间介绍一下两年来大疆在传感器技术方面的努力。&/p&&br&&p&&b&&u&1. 飞行器的状态&/u&&/b&&/p&&p&客机、多旋翼飞行器等很多载人不载人的飞行器要想稳定飞行，首先最基础的问题是确定自己在空间中的位置和相关的状态。测量这些状态，就需要各种不同的传感器。&/p&&br&&p&世界是三维的，飞行器的三维位置非常重要。比如民航客机飞行的时候，都是用GPS获得自己经度、纬度和高度三维位置。另外GPS还能用多普勒效应测量自己的三维速度。后来GPS民用之后，成本十几块钱的GPS接收机就可以让小型的设备，比如汽车、手机也接收到自己的三维位置和三维速度。&/p&&br&&p&对多旋翼飞行器来说，只知道三维位置和三维速度还不够，因为多旋翼飞行器在空中飞行的时候，是通过调整自己的“姿态”来产生往某个方向的推力的。比如说往侧面飞实际上就是往侧面倾，根据一些物理学的原理，飞行器的一部分升力会推着飞行器往侧面移动。为了能够调整自己的姿态，就必须有办法测量自己的姿态。姿态用三个角度表示，因此也是三维的。与三维位置、三维角度相对应的物理量是三维速度、三维加速度和三维角速度，一共是十五个需要测量的状态。&/p&&img src=&/694927cac6cbda2385f62_b.jpg& data-rawwidth=&1062& data-rawheight=&744& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1062& data-original=&/694927cac6cbda2385f62_r.jpg&&&p&这十五个状态都对多旋翼飞行器保持稳定飞行有至关重要的作用。拿“悬停”这件看起来是多旋翼飞行器最基本的能力来说，实际上飞行器的控制器在背后做了一系列“串级控制”：在知道自己三维位置的基础上，控制自己的位置始终锁定在悬停位置，这里的控制量是一个目标的悬停速度，当飞行器的位置等于悬停位置时，这个目标悬停速度为0，当飞行器的位置偏离了悬停位置时，飞行器就需要产生一个让自己趋向悬停位置的速度，也就是一个不为零的目标悬停速度；飞行器要想控制自己产生目标悬停速度，就需要根据自己当前的三维速度，产生一个目标加速度；为了实现这个目标加速度，飞机需要知道自己的三维角度，进而调整自己的姿态；为了调整自己的姿态，就需要知道自己的三维角速度，进而调整电机的转速。&/p&&br&&p&读者可能会想哇为什么这么复杂。其实我们身边的许多工程产品都在简单的表现背后藏着复杂的过程。比如汽车的油门也是类似的，踩下油门之后，有传感器测量汽油的流速、控制汽油的流速；然后有传感器测量发动机的转速、控制发动机转速……从踩油门到加速的过程中也有许许多多的传感器在测量汽车的各个状态量，并对这些状态量施加控制。&/p&&br&&p&知道十五个状态量是多旋翼飞行器做任何动作的基础中的基础，但是让飞行器在任何情况下都准确知道这十五个状态量是非常困难的事情，因为现在的科技水平还没有能够实现让一个传感器同时测量这么多的物理量。&b&几十年来，人们发展出了一套复杂的技术，叫做组合导航，用GPS加上惯性测量元件、气压计和地磁指南针来让飞行器测量自己的十五个状态量。&/b&&/p&&br&&p&&b&&u&2. 组合导航&/u&&/b&&/p&&p&惯性测量元件是一种能够测量自身三维加速度和三维角速度的设备（实际上惯性测量元件有两种，一种加速度计，一种角速度计，为了行文方便，我们把这两种元件当做一种，统称为惯性测量元件）。根据物理学原理，加速度的积分是速度，速度的积分是位置，角速度的积分是角度，理论上单靠惯性测量元件，我们就可以知道十五个状态量。&/p&&br&&p&人类的科技水平也的确实现了这一点：GPS还没被发明以前，导弹上通常都装着一个精密的惯性测量元件，导弹打出去以后靠这个装置测量自己的十五个状态量，然后控制自己飞越海洋和大洲。然而这种惯性测量元件会在测量的过程中慢慢累积误差，元件本身的工艺、技术、成本越差，积累误差的速度就越快。导弹上价值几百万的惯性测量元件飞几万公里后会积累十几米到几公里的误差，这种水平的导弹已经非常了不起了，毕竟不是每个国家都可以在背后竖着洲际导弹和国际社会讲道理。&/p&&img src=&/84a0d000f26c9ce6bd3eacba_b.png& data-rawwidth=&1227& data-rawheight=&1500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1227& data-original=&/84a0d000f26c9ce6bd3eacba_r.png&&&p&人体内也有惯性测量元件，人的耳蜗充满液体，人运动的时候这些液体有惯性，可以被耳中的神经感受到，因此测出了运动的加速度。然而人的惯性测量元件非常差，闭上眼睛，也不摸周围的东西，只靠耳蜗感受的移动，人基本没法走直线。&/p&&br&&p&而多旋翼飞行器上用的低成本MEMS惯性测量元件，精度就更差了，它测量的速度和位置在几秒钟内就会发散到几十米开外去，完全没法用来规划控制自己的飞行路线。&/p&&br&&p&此外，惯性测量元件还会受到温度、制造工艺的限制，产生一些测量的偏差，比如说有时温度突然变化之后，一个静止的惯性测量元件会觉得自己转动了起来，虽然它静止着，但是会输出不为零的角速度。这类测量的偏差需要比较仔细的算法进行修正，而且往往不能单靠惯性测量元件自己的测量完全消除。&/p&&br&&p&地磁指南针是一种测量航向的传感器。指南针在人们的生活中作用重大，在未知的环境中，不分南北可能寸步难行。飞行器的机身正方向朝南还是朝北这个状态量用导航的术语来说叫做航向，也就是飞行器姿态的三维角度中的一个，他在组合导航系统中是非常重要的一个状态量。&/p&&br&&p&地磁指南针能够指南指北是因为地球表面空间中有看不见的横贯南北的地磁线，地磁指南针可以测量出穿过自身的地磁强度，从而指出当前自身相对于地磁线的偏转。同样地，这个理论虽然非常简单，但是地磁线的强度非常弱，很容易受到干扰。比如多旋翼飞行器通用的无刷电机，在运转的时候就会产生变化的磁场，和地磁场叠加之后，地磁指南针就找不到正确的方向了。地磁指南针的这个特性非常令人恼火，但是早期的多旋翼飞行器开发人员毫无办法，因为这是唯一的能够确定飞行器在空间中绝对航向的设备。如果不知道这个航向，就基本没办法进行组合导航。&/p&&img src=&/50a2d0c7ba_b.png& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&649& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&/50a2d0c7ba_r.png&&&p&气压计的原理最为简单。因为地球表面海拔越高，空气越稀薄，气压越低，因此气压就能够给出飞行器的海拔高度。不过，不出意料的是，尺寸和重量适合在多旋翼飞行器上使用的气压计有很大的缺陷，它的测量值会受到温度、湿度、空气流速、光照、振动等因素的影响，单靠气压计非常难实现对高度的稳定测量。&/p&&br&&p&&b&组合导航技术结合GPS、惯性测量元件、地磁指南针和气压计各自的优缺点，使用电子信号处理领域的很多技术，融合多种传感器的测量值，获得较为准确的飞行器十五个状态量的测量。&/b&前面说惯性测量元件的测量容易发散，这个发散可以通过GPS来抑制：GPS可以获得三维位置也可以获得三维速度，惯性测量元件可以获得三维加速度，加速度的积分也是速度。在通过地磁指南针获得航向的基础上，两种速度的观测就可以融合起来，通过GPS的测量值来发现并抑制惯性测量元件的发散。惯性测量元件的发散被抑制住之后，它也可以更准地测量三维角度和三维加速度。因此GPS和惯性测量元件在这些情况中互相取长补短。除此之外，气压计和GPS互相提高了高度测量的精度，地磁指南针、GPS和惯性测量元件一同提高了航向测量的精度，他们都是利用了相同的融合、“互补”的思想。&/p&&br&&p&组合导航技术中传感器互补的原理直接源于1948年诞生的信息论。克劳德-香农总结归纳出的信息论提出了信息的概念以及如何从数学上度量信息，信息论可以说是现代人类文明的基石之一。解释清楚信息的本质之后，人们才能够用数学表示一个朴素而又深刻的原理：信息可以用来估计状态，越多的信息可以把状态量估计得越准。&/p&&p&&img src=&/fea29fd04e16a86b37f455_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&430& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/fea29fd04e16a86b37f455_r.jpg&&（上图致敬信息论之父，克劳德-香农）&/p&&p&此后，控制论的奠基人诺伯特-维纳与其他一大批工程师和科学家完善了通过信息进行状态估计的线性估计理论，进一步提出了传感器之间“互补滤波”，共同减小误差的理论。在此基础上鲁道夫-卡尔曼提出了卡尔曼滤波器，在通信、控制工程和飞行器状态估计领域广泛使用。&b&卡尔曼滤波器还被实现在了阿波罗飞船的导航计算机当中，使用星座位置和惯性测量元件互补测量阿波罗飞船的十五个状态量。&/b&&/p&&br&&p&信息论、线性估计理论以及卡尔曼滤波器允许人们把多个具有误差的传感器通过数学方程融合起来，利用传感器信息估计特定的状态量，而且越多传感器“互补”，可以获得越好的状态估计。这样，数学给工程学指出了发展方向：造更多牛逼的传感器进行互补，就能获得更好的状态估计能力。&b&大疆飞控总工程师鱼大人也曾经说过：“最牛逼的工程师都是在搞传感器。”传感器技术的重要性可见一斑。&/b&&/p&&br&&p&作为一种位置传感器，GPS具有诸多的问题，GPS信号只有在开阔的空间内才能给出比较好的测量值，因为GPS接收机需要从天上的卫星获得信号，这些信号要从太空传入大气层，这么远的距离，信号已经相对来说很微弱，所以必须要求接收机和卫星之间的连线上没有遮挡，一旦有建筑甚至是树木的遮挡，卫星发下来的信号就有噪声，GPS接收机就不能给出很好的位置和速度观测。在室内环境中，GPS甚至完全不能使用。组合导航技术要想进一步发展，就需要寻找其他能够在GPS不能使用的环境中使用的传感器。&/p&&br&&p&一种较为简单的能够替代GPS测量高度的传感器是小型超声波模块。这种模块通常有一收一发两个探头，一个探头发出超声波，另一个探头测量回波的时间，能够算出导致声波反弹的物体离探头的距离。现在在淘宝上，只要10块钱就可以买到一个能够比较准确测量几米内物体距离的超声波模块，被广泛用在大学生制作的小机器人上。这种10块钱的传感器没有比气压计和MEMS惯性测量元件性能高多少，它发出的声波容易发散，探测到的物体不一定位于探头正前方，另外声波也容易被空气中的水雾、振动所影响，给出完全错误的观测。因此，超声波模块最好的使用场景是对着地面，测量自身和地面的距离。&/p&&img src=&/5c9c1b686a9ae4bcdc6d1f_b.png& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&400& class=&content_image& width=&400&&&img src=&/4d9ea9b2e93f3e8f7c1cf24_b.png& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&373& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&/4d9ea9b2e93f3e8f7c1cf24_r.png&&&p&&b&&u&3. 视觉感知系统&/u&&/b&&/p&&p&另外一种替代品是视觉感知系统。1970年之后，随着数字成像技术的发展，相机作为一种传感器开始被广泛研究。因为人可以通过自己的视觉估计视野中物体的位置、距离，而相机的原理模拟了人的双眼，所以研究者们模仿人的特点，利用相机的二维图像反推图像中物体的三维信息。这种和二维图像推算三维信息相关的技术和数学理论发展成了一个独立的学科——计算机视觉，也被称作机器视觉。&/p&&br&&p&视觉感知系统是目前世界上最热门的机器人学和机器视觉领域研究课题。其原理是利用一个或者多个相机构成的视觉传感器系统，采用复杂的算法，通过二维的相机图像推算出视野中物体相对与视觉传感器系统的几何中心的运动信息，如果假设这些物体都是静止的，那么相对运动其实代表了视觉传感器本身的运动。理论上，计算机视觉技术能够单凭一个相机就可以准确测量十五个状态量，但是与其他传感器类似，相机也有很多的缺陷，包括无法恢复尺度、成像质量有限、计算量消耗巨大等等。幸好，我们还可以把视觉感知系统和其他传感器结合起来，互相提高测量精度。&/p&&br&&p&聪明的读者肯定能够想到，把视觉感知系统和之前说的所有组合导航中用到的传感器融合起来，GPS信号质量高的时候用GPS组合导航，没GPS的时候用视觉感知系统替代GPS，不就解决问题了吗。这确实正是目前工程师和科学家们正在努力解决的问题，也是精灵4上初步实现的技术。在介绍精灵4是如何结合视觉感知系统和组合导航技术之前，我们先简单介绍两种已经比较成熟的视觉感知系统：光流测速模块和视觉里程计。&/p&&br&&p&光流测速模块顾名思义，只能测速度。通常一个光流测速模块由一个相机、一个惯性测量元件、一个超声波模块构成，它的主要原理是计算机视觉技术中于1981年被发展出来的“光流追踪”算法。&/p&&p&“光流”的概念最早在1950年代由心理学家和生物学家提出，指的是一个观察者和他在观察的事物发生相对运动时，这些事物在他眼前成的像会产生“运动的模式”，人脑利用这种“运动的模式”能够更灵敏地感知周围什么东西在动。比如下图中，读者一看就可以直观理解“光流”的意义。&/p&&img src=&/ea0a846b9da1b6732ff2b_b.png& data-rawwidth=&763& data-rawheight=&403& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&763& data-original=&/ea0a846b9da1b6732ff2b_r.png&&&p&后来计算机科学家布鲁斯-卢卡斯和金出武雄在1981年发明了Lucas-Kanade算法，通过算法计算出连续拍摄的图片上的光流，并证明了光流可以反解出相对运动的速度。虽然三十多年来，Lucas-Kanade算法始终被公认为最好的“光流追踪”算法，但是它有比较大的局限性，它包含很多假设，比如假设连续图片的平均亮度相同，比如假设图片中的物体只发生平面运动等等。另外，光流算法算出的速度是没有尺度的，因为相机图像的单位是像素，所以光流算法只能给出“你现在的速度是10个像素每秒”，但是没法算出10个像素是1厘米还是1米。恢复尺度的方式是增加一个超声波模块测量平面运动离相机的距离，这样就能够把像素运动转换成真实的运动。最后，如果要让光流测速模块在晃来晃去的多旋翼飞行器上也能使用，通过惯性测量元件找出图像所代表的平面也是必不可少的，这一点需要在算法上进行两种传感器很好的配合。&/p&&br&&p&光流算法原理上只可以测三维速度，不能直接测量三维位置。我们同样可以通过把光流测速模块测出的三维速度积分获得三维位置，但是就像惯性测量元件积分会发散一样，光流测速模块积分得到的位置也会发散。好在它不会天马行空地失去控制，和组合导航技术中除了GPS之外的传感器妥善融合之后，它可以做到悬停时测量的位置不发散。因此可以说光流测速模块只在有限的条件下能够替代GPS。&/p&&br&&p&光流测速模块已经形成了非常标准的解决方案。大疆悟以及精灵3上都装载了自主研发的光流测速模块，另外著名的开源飞控产品Pixhawk中包含了一个叫做PX4Flow的光流测速模块，并且开源了所有的代码和硬件方案。所以光流测速模块目前已经广泛出现在了各大厂商的多旋翼飞行器产品上。&/p&&img src=&/fcddce6cf2be62a72c740ebdca8eb91f_b.png& data-rawwidth=&990& data-rawheight=&696& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&990& data-original=&/fcddce6cf2be62a72c740ebdca8eb91f_r.png&&&img src=&/eba280c38e_b.png& data-rawwidth=&400& data-rawheight=&367& class=&content_image& width=&400&&&br&&p&视觉里程计相比光流测速模块，增加了直接测量位置的能力，所以才叫“里程计”。视觉里程计比光流测速模块能力更强，性能更好。&/p&&br&&p&读者可能会问，为什么听起来视觉里程计和光流测速模块参与的传感器数量差不多（光流测速模块甚至还多一个超声波模块），但是视觉里程计能力反而更强呢。这里的原因不在于传感器硬件，而在软件算法上。前面已经说到光流追踪算法有很多简化的假设，只能测量平面运动，增加其他传感器硬件一定程度上是为了把那些为了计算方便而简化掉的因素重新弥补起来。&/p&&br&&p&而视觉里程计算法则复杂得多，它不仅要通过图像反推出视野中物体的平面运动，还要反推出这些物体的三维位置，并且基于这些物体的三维位置做很多次的优化计算，算法复杂度成倍于光流测速模块。有些视觉里程计的算法甚至包含完整的光流追踪的算法，但是仅仅把计算光流作为预处理图像的步骤。&/p&&br&&p&视觉里程计能够直接测量位置，测量值也比较准确，不会像光流测速模块那样发散。通常比较优秀的视觉里程计飞100米之后只会积累十几厘米到几十厘米的误差，这个测量水平比起导弹上几百万的惯性测量元件还是差了不少，但是考虑到视觉里程计的价格极其低廉，对比起来它的性价比非常高。&/p&&br&&p&视觉里程计有几个不同层次的难度，最简单的是两个相机构成的双目立体视觉系统加惯性测量元件，最难的是一个相机构成的单目视觉系统加惯性测量元件。如果视觉里程计和光流测速模块硬件一致，那么这里的视觉里程计采用的是单目视觉系统。目前，双目立体视觉系统加惯性测量元件实现自身状态观测已经是比较完善的技术，而&b&单目视觉系统则是活跃的研究方向，世界上做这个研究方向较好的大学有美国的宾西法尼亚大学、瑞士的苏黎世联邦理工学院、英国的牛津大学、我国的香港科技大学和其他一些欧美院校。&/b&&/p&&br&&p&单目视觉系统和双目立体视觉系统两者对比起来，他们的算法难度差别很大。视觉里程计的算法关键点是前面说的“通过连续的图像反推出视野中物体的三维位置”。对于和人眼结构类似的双目立体视觉系统，这一点比较容易，因为一个物体同时出现在左右两个相机的视野中时左右视野有视差，视差可以帮助解算物体的位置，只需要用简单的几何关系就可以实现，这已经是非常成熟的技术。&/p&&p&但是对于单目视觉系统，只有一个相机就没有视差，没法做简单的几何关系的解算，所以算法必须能智能地在局部范围内同时估计很多个物体的位置，然后在自身移动过程中通过位置移动产生视差，然后进行多个物体的位置的最大似然估计，从而推算出这些物体比较准确的位置。这个过程包括很多个环节，大部分环节在学术界都没有公认最优的方案，因此还没有成熟的技术。&/p&&br&&p&因为原理相对简单，所以双目立体视觉系统构成的视觉里程计在三十年前就开始被研究了。1980年代早期，NASA工程师、著名机器人学家汉斯-莫拉维克就已经制造出了这种状态测量系统。关于汉斯-莫拉维克的另一个故事，我在知乎问题中“&a href=&/question//answer/& class=&internal&&有哪些与控制、机器人等相关的 quotes？ - YY硕的回答&/a&”也有提到。&/p&&p&&img src=&/3fedf5afca253d4b15d5_b.png& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&561& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&/3fedf5afca253d4b15d5_r.png&&（上图致敬汉斯-莫拉维克）&/p&&p&在经年累月的优化之后，&b&2004年，NASA成功把视觉里程计和惯性测量元件构成的视觉定位系统装在“机遇号”和“勇气号”火星车主频仅有20MHz的特制芯片上，送上了火星&/b&，它可以帮助火星车通过一对双目相机非常准确地记录自己走过的路线。2007年，参与火星探测任务的计算机科学家和工程师们把这个激动人心的过程写成了一篇论文《计算机视觉在火星》（Computer Vision on Mars），这篇文章吸引了很多计算机视觉研究人员投身视觉里程计的研究，也极大推动了视觉里程计在机器人学中的应用。&/p&&br&&p&&b&&u&4. 精灵4的传感器方案&/u&&/b&&/p&&p&大疆在精灵4上实现了双目立体视觉系统加惯性测量元件构成的视觉里程计，飞机上装了两套双目立体视觉系统，一套向前看，一套向下看，一共是四个相机。&/p&&img src=&/63e8cb01ca6eadbeaf04d5_b.png& data-rawwidth=&266& data-rawheight=&249& class=&content_image& width=&266&&&img src=&/cd80f87f9cf_b.png& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&684& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/cd80f87f9cf_r.png&&&p&两套双目立体视觉系统都参与视觉里程计的计算。通常情况下以向下看的双目立体视觉系统为主，如果向下看的相机对着一些特征不明显的环境（比如纯色的地板、海面等等），感受不到什么图像变化，视觉里程计会自动切换到向前看的立体视觉系统做测量计算。虽然精灵4采用的都是较为成熟的机器视觉技术，但是由于精灵4上机载的计算量非常有限，大疆还是下了相当久的苦功去优化算法，并使用了Movidius公司制作的图像算法处理专用芯片，结合Movidius公司的图像处理算法库优化四路图像处理的性能。值得一提的是，不久就会面世的Google Project Tango也使用了Movidius公司的这款芯片。不过因为Movidius公司的芯片不包含视觉里程计的算法，所以Google的这款产品中视觉里程计的算法应该与精灵4的算法有较大差别。&/p&&br&&p&两套双目立体视觉系统还带来了视觉里程计之外的两个好处：1. 向下看的一套双目立体视觉系统可以探测下方地面上物体的三维位置，从而知道地面的距离；2. 向前看的一套双目立体视觉系统可以用来探测前方场景中物体的深度，产生深度图进行障碍感知。深度图还可以用于重建一个飞行器周围的局部地图，以进行精细的运动规划，这就是精灵4指点飞行的基础，在这篇文章中不详细介绍了。&/p&&img src=&/190d7d82fda_b.png& data-rawwidth=&428& data-rawheight=&324& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&428& data-original=&/190d7d82fda_r.png&&&p&除了增加视觉里程计之外，精灵4上还增加了内置的超声波模块。&b&所以精灵&/b&&b&4上一共有GPS+惯性测量元件+气压计+地磁指南针+超声波模块+双目视觉系统六种传感器。其中双目视觉系统有两套，共4个相机；惯性测量元件有两个，实现双冗余备份；地磁指南针也有两个，同样双冗余。&/b&当工作中的惯性测量元件或者地磁指南针受到严重干扰的时候，系统会自动进行备份切换，切换到另一个传感器上。这些传感器的数量、功能和特性总结如下表：&/p&&p&&img src=&/373e5a07de765c691a77aa4add242c8d_b.png& data-rawwidth=&653& data-rawheight=&388& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&653& data-original=&/373e5a07de765c691a77aa4add242c8d_r.png&&有了这些传感器以后，组合导航系统升级成为了智能导航系统。智能导航技术极大拓展了飞行器可以活动的空间，当有GPS的时候，系统可以通过GPS为主进行十五个状态量的测量，视觉里程计依然可以继续运作，提供额外的速度和位置的测量值进一步提高精度；GPS信号不好的时候，视觉里程计可以接替GPS为整个系统提供稳定的观测。智能导航系统中有三种确定高度的传感器：超声波、气压计、双目立体视觉，这三种传感器几乎可以覆盖所有让传统多旋翼飞行器头疼的定高场景：树丛上方、室内、靠近建筑的位置、大风环境等等。&br&&/p&&br&&p&地磁指南针的冗余设计可以很大程度上减小外部磁干扰带来的指南针故障。另外视觉里程计也能给出航向的观测，两者互补能够提高航向的观测精度。在以前的飞行器上，因为地磁指南针受到干扰造成的炸机问题比较多，在精灵4上因为有了多重保护措施，地磁指南针被干扰导致问题的概率大大降低。&/p&&br&&p&有了智能导航系统之后，还需要有一套强有力的软件系统去组织导航算法和飞行控制算法。精灵4的飞控和最新推出的A3飞控类似，都是大疆第三代飞行控制器。大疆第一代飞控性能已经很不错了，然后飞控组在过去的几年里做了两次比较大的飞控软件系统的重构，以支持更多的传感器和功能。2014年底推出的第二代飞控里加入了光流测速模块支持、SDK、限飞区和新手模式等功能，2016年初开发完成的第三代飞控里加入了冗余传感器、双目立体视觉支持、避障功能和智能返航等功能。因为每一次重构都对整个软件系统做了很大规模的调整，增加了很多的软件模块和新的软件架构，所以分了三代。&b&别人刚开始做飞控的时候，大疆已经自己重构了两次代码，这一点是大疆最引以自豪的地方之一。&/b&&/p&&br&&p&智能导航系统让精灵4在任何状态下都可以准确测量自身的三维位置和三维速度，这对实现多种功能都有非常重要的意义。&/p&&br&&p&近年来，业界有很多关于避障应该使用双目立体视觉还是激光雷达传感器等传感器的争论。在大疆内部，选择什么样的传感器放入智能导航系统用来避障，工程师团队也进行了旷日持久的探讨，最后还是选择了双目立体视觉的方案。我相信随着科技的发展，在未来会不断有更多更好的新传感器诞生，很可能会有其他传感器代替双目立体视觉，但是实现稳定避障的关键不在于避障所使用的传感器。避障这个事件发生前后，飞行器机体一定会发生急刹车，整体会经历很大的姿态变化和加速度，在这种状态下，飞行器是否还能稳定地测量出自己的十五个状态量，才是最影响安全性的问题。&/p&&br&&p&如果系统急刹车之后，整体的位置观测甚至速度观测都发散了，这时候飞行器有可能左右飘出去，还是会发生炸机。就算不炸机，避障之后飞机前后左右摇晃，也会给用户心理上造成不安全的感受，带来很差的用户体验。精灵4在很多严苛的情况下发生避障动作时，飞行器会自动锁定位置、速度迅速减为0的状态，很快就可以从高速机动恢复到完全不动，非常稳定地悬停，避免了在障碍附近不稳定活动引起炸机。&/p&&br&&p&精灵4还能处理很多看似很简单，但是对传感器系统要求非常高的飞行场景。比如在十几层楼的窗口把飞行器从室内飞到室外悬停。这种场景下，从窗口穿出时，向下看的传感器几乎马上全部失效，由于有建筑的遮挡，GPS也不会立刻生效，因此传感器系统不够稳健的飞行器有可能因为失去速度和位置的测量而飘到建筑上造成高空炸机。而精灵4则能够通过前视双目视觉系统的观测，在向下看的传感器都暂时失效时继续运行视觉里程计，及时提供辅助的速度和位置观测，避免造成无法控制速度和位置导致炸机的情况出现。&/p&&br&&p&实际上，由于前面说的过GPS容易被遮挡导致没有足够的信号做观测的情况在航拍的场景中其实常常遇到。比如在树木茂密的峡谷里航拍，经常出现的情况是飞行器放在地面上时接收不到GPS信号，如果稳定飞到几十米的高度就可以接收到了。在这些临界情况下起飞和降落非常危险，如果要保证飞行器在升降过程中都能保持稳定的状态，飞行器必须能够在GPS和视觉里程计之间无缝转换，这样才能让用户放心地起降。如果用户从高处下降到低处GPS突然没有了，而视觉里程计没有及时补上，飞机失去位置和速度观测之后就变得非常难操控，就有可能撞在树丛上。&/p&&br&&p&读者可能问，在这些情况下光流测速模块效果是不是也一样呢。我们前面说过光流测速模块的算法有很多简化的假设，尤其是被观测的物体必须处于同一个平面这样的假设，使得光流测速模块在树丛上方、地势变化较大的空间上方，都表现非常糟糕，并不能满足户外航拍的需求。虽然视觉里程计计算量庞大，但它是比光流测速模块更加实用有效的方案。&/p&&br&&p&另外值得一提的是，第二代的大疆飞控使用的是遥控器杆量转化成飞行器的加速度指令，而第三代的大疆飞控在精灵4上变成了遥控器杆量转化成飞行器的速度指令。在精灵3、大疆的前代飞行器以及很多无人机产品上，如果你推遥控器满杆前进，飞行器会以一个固定的角度加速飞出去，直到加速度被空气阻力抵消，这样控制并不直观，所以新手很难操作飞行器；而在精灵4上，如果你推遥控器满杆前进，飞行器会自己调整到一个固定的速度上，直接操控速度显得非常直接，非常容易操控。以往，让飞行器保持匀速飞行是只有专业飞手才能做到的事情，现在则真真正正地让普通人也能触手可得。这一个修改看似简单，但是提供了更好的操作手感，而且让飞行器飞行的状态更加稳定。&/p&&br&&p&对于航拍操作手来说，所有的花哨功能都不如悬停得稳、飞得稳这一点重要，因为飞机晃得太厉害，总会给用户造成一种“我的飞机真的没出问题吗”的感受，用户体验极其不好。我们去西藏青海或者其他很美的地方开车玩，肯定是希望平稳、慢慢地开，这样才能专心看美景；如果开着一部油门轻轻一点就加速到200公里的赛车，坐在车里一会儿被推背，一会儿过弯时左右甩，人还有心情欣赏路上的美景吗？&/p&&br&&p&遥控器杆量改动也显示了大疆对自己智能导航系统提供的稳定的三维速度测量的信心。目前我没有见过其他哪家公司的飞行器控制系统采用的是遥控器杆量转化成飞行器的速度指令。&/p&&br&&p&&b&&u&5. 当我在谈论无人机的时候，我在谈论什么&/u&&/b&&/p&&p&在这篇文章里，到现在我都没有提过“无人机”三个字。我觉得&b&，就像一辆合格的汽车必须有安全带、安全气囊、后视镜、阻燃内饰、各种仪表盘等等安全措施才能称为汽车一样，一部合格的多旋翼飞行器也必须有惯性测量元件、GPS&/b&&b&、视觉里程计、避障系统、气压计和超声波等传感器构成的智能导航系统才能被称为无人机&/b&。多旋翼飞行器不是玩具，汽车以高速撞人会造成人体严重的伤害，多旋翼飞行器甚至都不需要高速运动就可以用螺旋桨造成人体严重的伤害，因此多旋翼飞行器传感器必须有很强的安全性和稳定性。&/p&&br&&p&2014年的时候，大疆飞控组有一个白板，上面写着：“竞争对手” 下面只用小字写了几个业内竞争品牌的名字，但是用大大的字写了“波音“。几年来，大疆飞控的梦想都是能让便宜低价的多旋翼飞行器像波音的民航客机那样，只有五百万分之一的致死事故发生率。随着传感器技术的提升和飞行控制品质的提升，&b&截止2016年5月底，精灵4核心传感器系统出现故障的概率约为每两百万次起降仅有一次发生严重故障&/b&。虽然相比起载人的飞行器来说，大疆还有很多地方需要努力，但是在无人的多旋翼飞行器行业中，大疆是行业中飞行器整体故障率最低的企业。很多其他的企业，可能都无法计算出事故概率是百万分之多少，甚至是万分之多少。&br&&/p&&br&&p&很多其他公司也出了不少多旋翼飞行器产品，但是大部分只做了个组合导航的皮毛，加上一个光流测速模块，然后动一些歪脑筋，就开始标榜自己的安全性。就好比造个了汽车，说“啊我这个安全性很好的因为我方向盘手感很好，还装了个车载GPS”，但他车里连安全气囊和后视镜都没有。&/p&&p&还有的公司以飞行器上有新型传感器为卖点。&b&但是一套完整、可靠的传感器系统是一点一滴积累起来的，新传感器必须和已有的组合导航系统在硬件和软件上仔细融合，才能真正发挥作用。&/b&面对很多号称采用激光、红外线、“人眼级别的智能”的传感器，读者们只要去问这些厂商：“你的传感器能和GPS无缝切换吗？”“你的传感器解决室内掉高问题吗”“你的传感器在急刹车的时候还能保持位置观测吗”，就可以看出他们都是堆砌出来的空中楼阁。&/p&&br&&p&有些厂商的宣传语是“无人机不是土豪的玩具”。如果把他们所有宣传语中的“无人机”一词换成“汽车”，那么这类宣传逻辑和它们引导的消费观念显得极其错误。对汽车来说，有些汽车价格昂贵是因为提供了更好的倒车雷达和车身周围的传感器系统，这种增加汽车售价的行为提高了驾驶的体验，是理所应当的；另一方面，要求汽车变得更便宜，不应该要求去除这些安全传感器，而是应该从车身材料、内饰等方面去入手降成本。&/p&&br&&p&大疆极其反感这类行为，并不是想打击这些竞争对手以占领市场，而是希望所有厂商能够沉住气，把飞行器的传感器做完善。多旋翼飞行器不是手机一类的消费电子，而是和汽车、客机一样具有一定危险性的载具，不能一味打价格战或者标新立异。我们希望市场上能出现带着全套智能导航系统和算法，依然售价2999的飞行器。&b&我们坚信只有实现了完善的智能导航系统，才能造出真正安全的无人机产品，否则让不达标的飞行器进入市场，损害的是全体厂商的利益，也危害了整个社会的安全。&/b&&/p&
2014年的六月，我在知乎“”这个问题下面发布了一篇科普多旋翼飞行器技术的回答，在知乎上至今获得了889个赞同、近10万次浏览，并且被几十家媒体和公众号转发。2014年中正是多旋翼飞行器市场爆发前的风…
5.14更新&br&&br&谢谢各位的评论和赞。我决定好好修改一下答案。&br&&br&哼，竟然你们对概率题这么感兴趣，那我在最后再加一题。这题看似很简单，我赌1毛钱你们答不对。&br&&br&===========================更新后的答案=============================&br&&br&上知乎以来一直在抖机灵，终于有机会写点稍微干货点的东西啦。&br&&br&&b&一、&/b&一个非常著名的概率问题叫做两孩悖论(&b&Two-Child Paradox&/b&)。&br&&img src=&/9b24bf8cead_b.png& data-rawwidth=&738& data-rawheight=&984& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&738& data-original=&/9b24bf8cead_r.png&&&br&&br&有一对夫妇有两个孩子，考虑下面三个条件：&br&&br&&ol&&li&第一个孩子是男孩&br&&/li&&li&&b&其中&/b&有一个孩子是男孩&br&&/li&&li&&b&至少有一个&/b&男孩是在星期二出生的&br&&/li&&/ol&&br&问&b&在&/b&上述三个&b&条件下&/b&，分别求出&b&另外一个孩子也是男孩&/b&的概率是多少？&br&&br&直观感受上，三个条件的下，概率应该都一样，应该是1/2才对，但其实&br&。&br&。&br&。&br&。&br&。&br&。&br&&ol&1)&/ol&&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7DBB%7E%7E%7EBG%5C%5CGB%7E%7E%7EGG%5C%5C%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D& alt=&\left[\begin{matrix}BB~~~BG\\GB~~~GG\\\end{matrix}\right]& eeimg=&1&&&ol&其中&img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&表示男孩&img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&&表示女孩；每种组合的概率各为&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D& alt=&\frac{1}{4}& eeimg=&1&&。&/ol&首先，上述矩阵给出了两个孩子性别的所有组合，由于第二个孩子的概率分布与第一个孩子的概率是独立的，所以条件1为&img src=&///equation?tex=1%2F2& alt=&1/2& eeimg=&1&&。
&br&&br&2)&br&&br&好了，接下来是条件2的这种“&b&其中一个&/b&为男孩”的表述比较唬人，这个问题之所以成为悖论，是因为早在上个各路数学家在我们之前就先大吵了一顿，因为“其中一个”可以被理解成&u&不同的意思&/u&：&br&&ul&&li&“&u&至少一个&/u&”孩子是男孩&/li&&/ul&&br&这是我一直以来的理解，直到我写了这个答案被各路知友指出错误。&br&&br&我之所以一直都这么理解是因为高中数学好像都是这么讲的(⊙﹏⊙)o(≧口≦)o，我并不是有意误导你们的╥﹏╥...&br&&br&&img src=&/cbab32c1fd2b_b.jpg& data-rawwidth=&480& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&480& data-original=&/cbab32c1fd2b_r.jpg&&&br&一本叫《科学世界》的杂志2009年第9期好像也是这么讲的。&br&&br&在这种情况下，另外一个是男生的概率为：&br&&img src=&///equation?tex=P%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%7D%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D& alt=&P=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}& eeimg=&1&&&br&&br&&ul&&li&&u&“其中某一个是男孩”&/u&&/li&&/ul&这种其中一个是带特指的。这种场景可以理解成，你跟其中某一个孩子通过电话，是男的。问另外一个的性别，虽然你不知道那个男生是大是小，但是无论哪种可能，另外一个孩子的性别是独立分布的，概率为1/2。&br&&br&&ul&&li&根据scalar implicature，还有&u&“有且仅有一个是男孩”&/u&，可参考&/li&&/ul&&br&&a href=&/question/& class=&internal&&从语义和语用的角度分析，「其中一个」是否意为（或可以默认意为）「其中至少一个」或「其中特定一个」？ - 语言学&/a&&br&&br&在这种情况下，显然另外一个孩子是男生的概率是0。&br&&br&为什么数学题还要考语文呢。。&br&&br&&img src=&/c5afacb371_b.jpg& data-rawwidth=&581& data-rawheight=&220& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&581& data-original=&/c5afacb371_r.jpg&&&br&&br&&ol&3) 接下来第三个条件的答案可能有点匪夷所思，是&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B13%7D%7B27%7D& alt=&\frac{13}{27}& eeimg=&1&&。&br&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B13%7D%7B27%7D& alt=&\frac{13}{27}& eeimg=&1&&是什么鬼，为什么概率还跟周几出生有关？&/ol&&br&&img src=&/d46d92447cce77a31207a_b.jpg& data-rawwidth=&214& data-rawheight=&236& class=&content_image& width=&214&&&br&&br&条件3的问题比较复杂，我们要引入一个更大的矩阵&br&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%0AB_1B_1%7E%7E%7EB_1B_2%7E%7E%7EB_1G_1%7E%7E%7EB_1G_2%5C%5C%0A%5BL%5E2%5D%7E%7E%7E%7E%5BLM%5D%7E%7E%7E%7E%5BL%5E2%5D%7E%7E%7E%7E%5BLM%5D%5C%5C%0A%5C%5CB_2B_1%7E%7E%7EB_2B_2%7E%7E%7EB_2G_1%7E%7E%7EB_2G_2%5C%5C%0A%5BLM%5D%7E%7E%7E%7E%5BM%5E2%5D%7E%7E%7E%5BLM%5D%7E%7E%7E%5BM%5E2%5D%5C%5C%0A%5C%5CG_1B_1%7E%7E%7EG_1B_2%7E%7E%7EG_1G_1%7E%7E%7EG_1G_2%5C%5C%0A%5BL%5E2%5D%7E%7E%7E%7E%5BLM%5D%7E%7E%7E%7E%5BL%5E2%5D%7E%7E%7E%7E%5BLM%5D%5C%5C%0A%5C%5CG_2B_1%7E%7E%7EG_2B_2%7E%7E%7EG_2G_1%7E%7E%7EG_2G_2%5C%5C%0A%5BLM%5D%7E%7E%7E%7E%5BM%5E2%5D%7E%7E%7E%5BLM%5D%7E%7E%7E%5BM%5E2%5D%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%5D& alt=&\left[\begin{matrix}
B_1B_1~~~B_1B_2~~~B_1G_1~~~B_1G_2\\
[L^2]~~~~[LM]~~~~[L^2]~~~~[LM]\\
\\B_2B_1~~~B_2B_2~~~B_2G_1~~~B_2G_2\\
[LM]~~~~[M^2]~~~[LM]~~~[M^2]\\
\\G_1B_1~~~G_1B_2~~~G_1G_1~~~G_1G_2\\
[L^2]~~~~[LM]~~~~[L^2]~~~~[LM]\\
\\G_2B_1~~~G_2B_2~~~G_2G_1~~~G_2G_2\\
[LM]~~~~[M^2]~~~[LM]~~~[M^2]\end{matrix}\right]& eeimg=&1&&&br&&br&我们假设每个孩子都可能有两种类型用下标1和2表示，&img src=&///equation?tex=L& alt=&L& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=M& alt=&M& eeimg=&1&&分别表示这两种的相对概率。那么这个矩阵就表示了所有男孩和女孩的所有情况。&br&&br&我们假设其中一个男孩是&b&类型1&/b&，那么对应的情况就是这个矩阵就是第一个行和第一列，即&img src=&///equation?tex=B_1& alt=&B_1& eeimg=&1&&发生了，全部情况的权重为&img src=&///equation?tex=4L%28L%2BM%29-L%5E2& alt=&4L(L+M)-L^2& eeimg=&1&&，两个男孩的权重为&img src=&///equation?tex=2L%28L%2BM%29-L%5E2& alt=&2L(L+M)-L^2& eeimg=&1&&，因此两个男孩的概率为：&br&&br&&img src=&///equation?tex=P%3D%5Cfrac%7B2L%28L%2BM%29-L%5E2%7D%7B4L%28L%2BM%29-L%5E2%7D%3D%5Cfrac%7B2-p%7D%7B4-p%7D& alt=&P=\frac{2L(L+M)-L^2}{4L(L+M)-L^2}=\frac{2-p}{4-p}& eeimg=&1&&&br&&br&其中&img src=&///equation?tex=p%3D%5Cfrac%7BL%7D%7BL%2BM%7D& alt=&p=\frac{L}{L+M}& eeimg=&1&&在我们考虑的iii)中L为周二的相对概率，M为不是周二的相对概率，因此&img src=&///equation?tex=p%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D& alt=&p=\frac{1}{7}& eeimg=&1&&，那么&br&&br&&img src=&///equation?tex=P%3D%5Cfrac%7B2-%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%7D%7B4-%5Cfrac%7B1%7D%7B7%7D%7D%3D%5Cfrac%7B13%7D%7B27%7D& alt=&P=\frac{2-\frac{1}{7}}{4-\frac{1}{7}}=\frac{13}{27}& eeimg=&1&&&br&&br&&u&&b&注意到&/b&&/u&，这个&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&越小，&img src=&///equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&越接近“其中某一个是男生”的概率，即&img src=&///equation?tex=1%2F2& alt=&1/2& eeimg=&1&&；如果&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&越大，那么&img src=&///equation?tex=P& alt=&P& eeimg=&1&&越接近“至少有一种是男生”的概率，即&img src=&///equation?tex=1%2F3& alt=&1/3& eeimg=&1&&。&br&&br&我们还可以衍生到别的情形中，比如&b&其中一个男孩是圣诞节生的，那么另外一个也是男孩&/b&的概率是&br&&br&&img src=&///equation?tex=P%3D%5Cfrac%7B2-%5Cfrac%7B1%7D%7B365%7D%7D%7B4-%5Cfrac%7B1%7D%7B365%7D%7D%5Capprox%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D& alt=&P=\frac{2-\frac{1}{365}}{4-\frac{1}{365}}\approx\frac{1}{2}& eeimg=&1&&&br&&br&&br&参考文献：&br&&br&[1] &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Boy or Girl paradox&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[2] &a href=&///?target=http%3A//mathsci.ucd.ie/%7Eplynch/Publications/BIMS-TwoChildParadox.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&mathsci.ucd.ie/~plynch/&/span&&span class=&invisible&&Publications/BIMS-TwoChildParadox.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&b&二、 &/b&&b&希尔伯特旅馆悖论&/b&：假设有一个拥有&a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%258F%25AF%25E6%%25E9%259B%2586& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&可数无限&i class=&icon-external&&&/i&&/a&多个房间的旅馆，且所有的房间均已客满。&br&&br&&br&但是对于无限房间的旅馆，&b&客满&/b&不代表不能&b&接收新的客人&/b&。如果有&br&&br&&ul&&li&有限个新客人&br&&/li&&/ul&
设想此时有一个客人想要入住该旅馆。由于旅馆拥有无穷个房间，因而我们可以将原先在1号房
间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到3号房间，以此类推，这样就空出了1号
房间留给新的客人。重复这一过程，我们就能够使任意有限个客人入住到旅馆内。&br&&ul&&li&无限个新客人&br&&/li&&/ul&
将1号房间原有的客人安置到2号房间、2号房间原有的客人安置到4号房间、&img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&&号房间原有的客
人安置到&img src=&///equation?tex=2n& alt=&2n& eeimg=&1&&号房间，这样所有的奇数房间就都能够空出来以容纳新的客人。因此偶数集合和整
数集合等势（你可以认为偶数和整数“一样多”。）&br&&ul&&li&无限个客车且每个客车上有无限个新客人&br&&/li&&/ul&
这需要有一个前提条件：所有客车上的每个座位都已经编好了次序（即旅馆管理员对客人的安排
满足&a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%E6%258B%25A9%25E5%2585%25AC%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&选择公理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&）。首先，如同前面一样将所有奇数房间都清空，再将第一辆客车上的客人安排在
第&img src=&///equation?tex=3%5En& alt=&3^n& eeimg=&1&&号房间&img src=&///equation?tex=%28n%3D1%2C2%2C3...%29& alt=&(n=1,2,3...)& eeimg=&1&&、第二辆客车上的客人安排在第&img src=&///equation?tex=5%5En& alt=&5^n& eeimg=&1&&号房间，以此类推，将第&i&i&/i&辆客
车上的客人安排在第&img src=&///equation?tex=p%5En& alt=&p^n& eeimg=&1&&号房间（其中，&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&是第&img src=&///equation?tex=i%2B1& alt=&i+1& eeimg=&1&&个质数）。&br&&br&&br&参考文献：&br&&br&[1] &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%2527s_paradox_of_the_Grand_Hotel& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Hilbert's paradox of the Grand Hotel&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&br&&br&&b&三&/b&、&b&生日问题&/b&：一场足球赛的&b&23&/b&人（2支球队22人+只算1个裁判=&b&23&/b&人）中，有超过50%的概率两个人的生日同月同日。&br&&br&证明：假设一年只有365，n个人生日同月同日都不一样的概率为&br&&br&&img src=&///equation?tex=+P%28n%29+%3D+1+%5Ccdot+%5Cleft%281-%5Cfrac%7B1%7D%7B365%7D%5Cright%29%5Ccdot+%5Cleft%281-%5Cfrac%7B2%7D%7B365%7D%5Cright%29++%5Ccdots+%5Cleft%281-%5Cfrac%7Bn-1%7D%7B365%7D%5Cright%29+%3D%5Cfrac%7B365%7D%7B365%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7B364%7D%7B365%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7B363%7D%7B365%7D+%5Ccdot+%5Cfrac%7B362%7D%7B365%7D+%5Ccdots+%5Cfrac%7B365-n%2B1%7D%7B365%7D& alt=& P(n) = 1 \cdot \left(1-\frac{1}{365}\right)\cdot \left(1-\frac{2}{365}\right)
\cdots \left(1-\frac{n-1}{365}\right) =\frac{365}{365} \cdot \frac{364}{365} \cdot \frac{363}{365} \cdot \frac{362}{365} \cdots \frac{365-n+1}{365}& eeimg=&1&&&br&&br&则&br&&br&&img src=&///equation?tex=P%D0.4927& alt=&P(23)=0.4927& eeimg=&1&&&br&&br&&br&参考文献：&br&&br&[1] &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%E6%%25E5%E9%25A1%258C& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&https://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&b&四&/b&、&img src=&///equation?tex=i%5Ei& alt=&i^i& eeimg=&1&&（i的i次方）是一个实数的集合。&br&&br&证明：&br&&br&&img src=&///equation?tex=i%3D%5Cexp%5Cleft%5Bi%5Cleft%282k%5Cpi%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cright%29%5Cright%5D& alt=&i=\exp\left[i\left(2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right]& eeimg=&1&&，其中&img src=&///equation?tex=k& alt=&k& eeimg=&1&&为任意整数，因此&br&&br&&img src=&///equation?tex=i%5Ei%3D%5Cexp%5Cleft%5B-%5Cleft%282k%5Cpi%2B%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D%5Cright%29%5Cright%5D& alt=&i^i=\exp\left[-\left(2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right]& eeimg=&1&&&br&&br&&b&五&/b&、再来一个我认为最有趣的：&br&&br&一个课室的讲台上有一个箱子，里面有两种颜色的小球：&b&红色&/b&和&b&蓝色&/b&，各自种类数量不相同，我们假设蓝色球数量为&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&，红色球数量为&img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&，并且一种球的数量要比另外一种要多，即有两种情况，一种是红多，一种是蓝多，而且出现这两种情况的概率分别概率是1/2。我们假设&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&为抽到一个小球等于数量多的那个球的概率，显然&img src=&///equation?tex=p%3E0.5& alt=&p&0.5& eeimg=&1&&。现在班上的同学开始排队取小球。按照顺序，每一个人取了一个小球，&b&自己偷偷看&/b&然后放回箱子（这样后面的同学抽&b&蓝色的球&/b&概率不变），并且&b&宣布&/b&一个自己的对&b&箱子中主要的球的主要颜色的猜测&/b&（&b&即猜A大还是B大&/b&），假设这个猜测是根据自己所掌握的信息（&b&自己抽出小球颜色&/b&和&b&之前的人宣布的猜测&/b&）最大化自己猜测的正确性。&br&&br&那么问题来了：&br&&br&&ol&&li&如果&b&前面两个人&/b&的猜测都是&b&蓝色&/b&，那么第3，第4到第n个人宣布自己猜测为蓝色的概率是多少？&br&&/li&&li&从第&img src=&///equation?tex=2n& alt=&2n& eeimg=&1&&个人之后的所有人宣布相同的猜测的概率是多少？&br&&/li&&/ol&。&br&。&br&。&br&。&br&。&br&。&br&。&br&。&br&答案是：&br&&ol&&li&全部都是100%，无论&img src=&///equation?tex=A& alt=&A& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=B& alt=&B& eeimg=&1&&是多少，无论后面的人到底抽到的是蓝色的球还是红色的球。&/li&&li&&img src=&///equation?tex=1-%5B%281-p%29p%5D%5E%7Bn%7D& alt=&1-[(1-p)p]^{n}& eeimg=&1&&，可以发现n越大这个概率越高，也就是当n足够大的时候，所有人一定会给出同样的猜测！&/li&&/ol&&br&这个题背后的模型叫做&b&信息瀑布&/b&(Information Cascade)，论述有点长，推导过程我决定放到我专栏的文章里面。&br&&br&为了方便表示，我们用&img src=&///equation?tex=X_i%3D%5C%7B0%2C1%5C%7D& alt=&X_i=\{0,1\}& eeimg=&1&&，和&img src=&///equation?tex=Y_i%3D%5C%7B0%2C1%5C%7D& alt=&Y_i=\{0,1\}& eeimg=&1&&分别来表示第&img src=&///equation?tex=i& alt=&i& eeimg=&1&&个人的偷&b&偷看的球的颜色&/b&和他&b&宣布的猜测的颜色&/b&。&u&&img src=&///equation?tex=0& alt=&0& eeimg=&1&&为红色，&img src=&///equation?tex=1& alt=&1& eeimg=&1&&为蓝色&/u&。&br&&br&如果你是&u&第一个人&/u&，你该怎么做？很简单，&img src=&///equation?tex=X_1& alt=&X_1& eeimg=&1&&是1就写1，是0就写0，即&img src=&///equation?tex=Y_1%5Cleftarrow+X_1& alt=&Y_1\leftarrow X_1& eeimg=&1&&，因为猜中的概率&img src=&///equation?tex=p& alt=&p& eeimg=&1&&超过0.5。&br&&br&如果你是&u&第二个人&/u&，你所掌握的信息有&img src=&///equation?tex=X_2& alt=&X_2& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=Y_1& alt=&Y_1& eeimg=&1&&，注意到第二个人是知道第一个人是做决策的，即&img src=&///equation?tex=Y_1%3DX_1& alt=&Y_1=X_1& eeimg=&1&&，这个时候你要稍微考虑一下了，有以下两种情形：&br&&ul&&li&如果&img src=&///equation?tex=Y_1%3DX_1%3DX_2& alt=&Y_1=X_1=X_2& eeimg=&1&&，则&img src=&///equation?tex=Y_2%5Cleftarrow+X_1%3DX_2& alt=&Y_2\leftarrow X_1=X_2& eeimg=&1&&。&/li&&li&如果&img src=&///equation?tex=Y_1%3DX_1%5Cneq+X_2& alt=&Y_1=X_1\neq X_2& eeimg=&1&&，扔一个硬币，如果正面朝上，则&img src=&///equation?tex=Y_2%5Cleftarrow+X_1& alt=&Y_2\leftarrow X_1& eeimg=&1&&；如果朝下，则&/li&&/ul&&br&如果你是&u&第三个人&/u&，那么情况开始就有点难处理了，两种情况&br&&ul&&li&如果&img src=&///equation?tex=Y_1%3DY_2& alt=&Y_1=Y_2& eeimg=&1&&，那么无论&img src=&///equation?tex=X_3& alt=&X_3& eeimg=&1&&等于什么，第三个人都会忽略自己的私密信息&img src=&///equation?tex=X_3& alt=&X_3& eeimg=&1&&并且选择，跟随别人，即&img src=&///equation?tex=Y_3%5Cleftarrow+Y_1& alt=&Y_3\leftarrow Y_1& eeimg=&1&&&/li&&br&&li&如果&img src=&///equation?tex=Y_1%5Cneq+Y_2& alt=&Y_1\neq Y_2& eeimg=&1&&，则&img src=&///equation?tex=Y_3%5Cleftarrow+X_3& alt=&Y_3\leftarrow X_3& eeimg=&1&&。&/li&&/ul&&br&&b&&u&注意到&/u&&/b&，&br&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=Y_1%3DY_2& alt=&Y_1=Y_2& eeimg=&1&&的情况下，第三个人释放的信号&img src=&///equation?tex=Y_3& alt=&Y_3& eeimg=&1&&是没有任何信息量的，因为在任何条件下，&img src=&///equation?tex=Y_3& alt=&Y_3& eeimg=&1&&都等于&img src=&///equation?tex=Y_1& alt=&Y_1& eeimg=&1&&和&img src=&///equation?tex=Y_2& alt=&Y_2& eeimg=&1&&。因此后面第四个人开始，所以人面临的选择都跟第三个人一毛一样，并且都会选择&img src=&///equation?tex=Y_i%3DY_2%3DY_1& alt=&Y_i=Y_2=Y_1& eeimg=&1&&，这样以来，&b&信息&/b&&b&瀑布&/b&就开始了。信息瀑布的产生，只需要两个人。&/li&&/ul&&br&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=Y_1%5Cneq+Y_2& alt=&Y_1\neq Y_2& eeimg=&1&&的情况下，后面所以人会自动忽略掉这两个信号，因此你考虑把队列前面两个人移除然后把&b&第三个人&/b&看成是一个&b&新的队列的第一个人&/b&，因此如果&img src=&///equation?tex=Y_3%3DY_4& alt=&Y_3=Y_4& eeimg=&1&&， 那么依然可能产生信息瀑布。如果&img src=&///equation?tex=Y_3%5Cneq+Y_4& alt=&Y_3\neq Y_4& eeimg=&1&&，同理，移除他们，把后面的人当成新的队列的第一个人。&br&&/li&&/ul&&br&&ul&&li&可以计算第二个人之后没有&b&信息&/b&&b&瀑布&/b&的概率是&/li&&/ul&&img src=&///equation?tex=Pr_%7Bno%7D%3DPr%5C%7BY_1%5Cneq+Y_2%5C%7D%3Dp%281-p%29& alt=&Pr_{no}=Pr\{Y_1\neq Y_2\}=p(1-p)& eeimg=&1&&&br&&br&并且产生错误和正确的信息瀑布的概率相同，为&br&&br&&img src=&///equation?tex=Pr_%7Berr%7D%3DPr_%7Bcor%7D%3D%5Cfrac%7B1-p%281-p%29%7D%7B2%7D& alt=&Pr_{err}=Pr_{cor}=\frac{1-p(1-p)}{2}& eeimg=&1&&&br&&br&同理，第2n个人之后没有产生信息瀑布的概率是&br&&br&&img src=&///equation?tex=Pr_%7Bno%7D%3DPr%5C%7BY_1%5Cneq+Y_2%2C+Y_3%5Cneq+Y_4%2C...%2CY_%7B2n-1%7D%5Cneq+Y_%7B2n%7D%5C%7D%3D%28p%281-p%29%29%5En& alt=&Pr_{no}=Pr\{Y_1\neq Y_2, Y_3\neq Y_4,...,Y_{2n-1}\neq Y_{2n}\}=(p(1-p))^n& eeimg=&1&&&br&&br&这个数越来越小，当&img src=&///equation?tex=n%5Crightarrow+%5Cinfty& alt=&n\rightarrow \infty& eeimg=&1&&，&img src=&///equation?tex=Pr_%7Bno%7D%5Crightarrow+0& alt=&Pr_{no}\rightarrow 0& eeimg=&1&&，因此&b&信息&/b&&b&瀑布&/b&&b&总会发生&/b&。&br&&br&&b&总结&/b&：&br&&ul&&li&当有队列前面两个人宣布相同的猜测时候，第三个人会放弃自己的信息而选择相信他们两个。注意到产生这个原因并不是因为第三个和后面的人盲目跟风，而是因为在这个机制下信息传达效率低。因此，理论上，&b&传递谣言&/b&只需要&b&两个群众演员&/b&。&/li&&li&信息瀑布可能是错误的，而且错误的可能性很高。假设第一和第二个人公布信息相同，那么第三个人之后的公布的信息没有信息量，无法消除更多的不确定性。&/li&&li&错误信息瀑布怎么终止？其实很简单，只要有一个人不守规矩公布了自己的私密信息，就可以停止了。还记得皇帝的新衣的故事吗？它就是一个很好的信息瀑布的例子，最后这个信息瀑布是怎么结束的？一个小女孩“不懂事”，大声地说出：“他其实什么也没穿吧。”这个效应也叫皇帝的新衣效应(Emperor's New Clothes Effect)。&/li&&/ul&&br&&img src=&/a0b0e3ffdbf8f_b.jpg& data-rawwidth=&224& data-rawheight=&225& class=&content_image& width=&224&&&br&详细推导与具体如何造谣请见我的专栏文章：&br&&br&&a href=&/p/& class=&internal&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&/p/20&/span&&span class=&invisible&&894784&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&&br&参考文献：&br&[1]
Bikhchandani, S., &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/David_Hirshleifer& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Hirshleifer, D&i class=&icon-external&&&/i&&/a&., and &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Ivo_Welch& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Welch, I&i class=&icon-external&&&/i&&/a&. (1992), &A Theory of Fads, Fashion, Custom, and Cultural Change as Informational Cascades,& &i&Journal of Political Economy&/i&, Volume 100, Issue 5, pp. &a class=& wrap external& href=&///?target=http%3A///wp-content/uploads/2008/03/atheoryoffads.pdf& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&pp. 992-1026.&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[2] Schiller, R.J. (1995). &Conversation, Information and Herd Behavior&. &i&Rhetoric and Economic Behavior&/i&&br&[3] &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Information_cascade& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Information cascade&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&b&六&/b&、&br&&br&知乎上看到的一个问题：&a href=&/question/& class=&internal&&这个游戏公平吗？ - 投资&/a&&br&&br&&blockquote&有一天，一位陌生美女主动过来和你搭讪，并要求和你一起玩个游戏。她提议：“让我们各自&b&亮出硬币的一面&/b&。如果我们&u&都是正面&/u&，那么&u&我给你3元&/u&，如果我们&u&都是反面&/u&，&u&我给你1元&/u&，剩下的情况&u&你给我2元就可以了&/u&。”那么该不该和这位姑娘玩这个游戏呢？这基本是废话，当然该。&b&问题是，这个游戏公平吗？&/b&&/blockquote&&br&&br&简单一算，都是正面的概率是&img src=&///equation?tex=1%2F4& alt=&1/4& eeimg=&1&&，都是反面也是&img src=&///equation?tex=1%2F4& alt=&1/4& eeimg=&1&&，一正一反的概率是&img src=&///equation?tex=1%2F2& alt=&1/2& eeimg=&1&&，那么通过这个游戏，我获得的奖励的期望是&br&&br&&img src=&///equation?tex=E%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ccdot+3%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Ccdot+1-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot+2%3D0& alt=&E=\frac{1}{4}\cdot 3+\frac{1}{4}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot 2=0& eeimg=&1&&&br&&br&&img src=&/6d298c0e7f3ed3e1660b1a_b.jpg& data-rawwidth=&220& data-rawheight=&220& class=&content_image& width=&220&&&br&&br&&br&这游戏很公平啊，美女竟然跟我玩这么无趣的游戏，不是美女寂寞了，就是我太有魅力。&br&&br&不过，仔细一想，这不对啊！&br&&br&&img src=&/e1c22eba3_b.jpg& data-rawwidth=&297& data-rawheight=&220& class=&content_image& width=&297&&&br&我们是亮硬币，不是拋硬币，因此这个以什么概率亮出硬币的概率是&u&可以控制的&/u&！经过我大脑飞速的运算，我发现，如果我以&img src=&///equation?tex=0%5Cleq+x+%5Cleq+1& alt=&0\leq x \leq 1& eeimg=&1&&的概率出正面，而美女以&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D& alt=&\frac{3}{8}& eeimg=&1&&的概率出正面，那么我的期望收益为&br&&br&&img src=&///equation?tex=E%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%5Ccdot+3%5Ccdot+x%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D%5Ccdot+%281-x%29+%5Ccdot1+-%5Cleft%28%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%5Ccdot+%281-x%29%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B8%7D%5Ccdot+x%5Cright%29%5Ccdot+2%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D& alt=&E=\frac{3}{8}\cdot 3\cdot x+\frac{5}{8}\cdot (1-x) \cdot1 -\left(\frac{3}{8}\cdot (1-x)+\frac{5}{8}\cdot x\right)\cdot 2=-\frac{1}{8}& eeimg=&1&&&br&&br&也就是说在这种情况下，无论我怎么选择亮硬币的概率，我平均每轮都要亏&img src=&///equation?tex=-%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D& alt=&-\frac{1}{8}& eeimg=&1&&块钱，这还得了！警察蜀黍，我遇到骗子啦！&br&&br&&img src=&/7f4feec0eef7_b.jpg& data-rawwidth=&330& data-rawheight=&220& class=&content_image& width=&330&&那么上面说的&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D& alt=&\frac{3}{8}& eeimg=&1&&是怎么而来的呢？&br&&br&其实这道题不是简单的概率问题，而是一个经典的零和(Zero-sum)混合策略(Mixed Strategies)博弈问题，假设你出正面的概率是&img src=&///equation?tex=p_1& alt=&p_1& eeimg=&1&&，她出正面的概率是&img src=&///equation?tex=p_2& alt=&p_2& eeimg=&1&&，那么你的平均收益则为&br&&br&&img src=&///equation?tex=E_1%3D+3%5Ccdot+p_1%5Ccdot+p_2%2B+1+%5Ccdot+%281-p_1%29%5Ccdot+%281-p_2%29+-+2%5Ccdot+%5Cleft%28p_2%5Ccdot+%281-p_1%29%2B%281-p_2%29%5Ccdot+p_1+%5Cright%29& alt=&E_1= 3\cdot p_1\cdot p_2+ 1 \cdot (1-p_1)\cdot (1-p_2) - 2\cdot \left(p_2\cdot (1-p_1)+(1-p_2)\cdot p_1 \right)& eeimg=&1&&&br&&br&她的则是&br&&br&&img src=&///equation?tex=E_2%3D+-3%5Ccdot+p_1%5Ccdot+p_2-+1+%5Ccdot+%281-p_1%29%5Ccdot+%281-p_2%29+%2B+2%5Ccdot+%5Cleft%28p_2%5Ccdot+%281-p_1%29%2B%281-p_2%29%5Ccdot+p_1+%5Cright%29& alt=&E_2= -3\cdot p_1\cdot p_2- 1 \cdot (1-p_1)\cdot (1-p_2) + 2\cdot \left(p_2\cdot (1-p_1)+(1-p_2)\cdot p_1 \right)& eeimg=&1&&&br&&br&这个Game只有一个混合策略纳什均衡(Nash equilibrium)，即&img src=&///equation?tex=%28p_1%5E%2A%2Cp_2%5E%2A%29%3D%5Cleft%28%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%2C%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D%5Cright%29& alt=&(p_1^*,p_2^*)=\left(\frac{3}{8},\frac{3}{8}\right)& eeimg=&1&&。这个混合策略纳什均衡有一个性质，就是在对手使用了达到纳什均衡的那个策略，即&img src=&///equation?tex=p_2%3Dp_2%5E%2A%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B8%7D& alt=&p_2=p_2^*=\frac{3}{8}& eeimg=&1&&，那么无论你选择什么策略对会有相同的收益期望。&br&&br&参考资料：&br&&br&[1] &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Game_theory& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Game theory&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&[2] &a href=&///?target=https%3A//en.wikipedia.org/wiki/Nash_equilibrium& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Nash equilibrium&i class=&icon-external&&&/i&&/a&
5.14更新 谢谢各位的评论和赞。我决定好好修改一下答案。 哼，竟然你们对概率题这么感兴趣，那我在最后再加一题。这题看似很简单，我赌1毛钱你们答不对。 ===========================更新后的答案============================= 上知乎以来一直在抖机灵，…
转载自微博 数论妙趣 的一篇文章。传送门如下：&br&&a href=&///?target=http%3A///p/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&#10海盗分金问题#&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&数学的逻辑有时会导致看来十分怪异的结论。一般的规则是，如果逻辑推理没有漏洞，那么结论就必定站得住脚，即使它与你的直觉矛盾。 1998年9月，加利福尼亚州帕洛阿尔托的Stephen M. Omohundro寄给我一道难题，它恰好就属于这一类。这难题已经流传了至少十年，但是Omohundro对它作了改动，使它的逻辑问题变得分外复杂了。
先来看看此难题原先的形状。10名海盗抢得了窖藏的100块金子，并打算瓜分这些战利品。这是一些讲民主的海盗（当然是他们自己特有的民主），他们的习惯是按下面的方式进行分配：最厉害的一名海盗提出分配方案，然后所有的海盗（包括提出方案者本人）就此方案进行表决。如果50%或更多的海盗赞同此方案，此方案就获得通过并据此分配战利品。否则提出方案的海盗将被扔到海里，然后下提名最厉害的海盗又重复上述过程。 &br&
所有的海盗都乐于看到他们的一位同伙被扔进海里，不过，如果让他们选择的话，他们还是宁可得一笔现金。他们当然也不愿意自己被扔到海里。所有的海盗都是有理性的，而且知道其他的海盗也是有理性的。此外，没有两名海盗是同等厉害的——这些海盗按照完全由上到下的等级排好了座次，并且每个人都清楚自己和其他所有人的等级。这些金块不能再分，也不允许几名海盗共有金块，因为任何海盗都不相信他的同伙会遵守关于共享金块的安排。这是一伙每人都只为自己打算的海盗。最凶的一名海盗应当提出什么样的分配方案才能使他获得最多的金子呢？
为方便起见，我们按照这些海盗的怯懦程度来给他们编号。最怯懦的海盗为1号海盗，次怯懦的海盗为2号海盗，如此类推。这样最厉害的海盗就应当得到最大的编号，而方案的提出就将倒过来从上至下地进行。
分析所有这类策略游戏的奥妙就在于应当从结尾出发倒推回去。游戏结束时，你容易知道何种决策有利而何种决策不利。确定了这一点后，你就可以把它用到倒数第2次决策上，如此类推。如果从游戏的开头出发进行分析，那是走不了多远的。其原因在于，所有的战略决策都是要确定：“如果我这样做，那么下一个人会怎样做？” &br&
因此在你以下海盗所做的决定对你来说是重要的，而在你之前的海盗所做的决定并不重要，因为你反正对这些决定也无能为力了。
记住了这一点，就可以知道我们的出发点应当是游戏进行到只剩两名海盗——即1号和2号——的时候。这时最厉害的海盗是2号，而他的最佳分配方案是一目了然的：100块金子全归他一人所有，1号海盗什么也得不到。由于他自己肯定为这个方案投赞成票，这样就占了总数的50%，因此方案获得通过。
现在加上3号海盗。1号海盗知道，如果3号的方案被否决，那么最后将只剩2个海盗，而1号将肯定一无所获——此外，3号也明白1号了解这一形势。因此，只要3号的分配方案给1号一点甜头使他不至于空手而归，那么不论3号提出什么样的分配方案，1号都将投赞成票。因此3号需要分出尽可能少的一点金子来贿赂1号海盗，这样就有了下面的分配方案： 3号海盗分得99块金子，2号海盗一无所获，1号海盗得1块金子。
4号海盗的策略也差不多。他需要有50%的支持票，因此同3号一样也需再找一人做同党。他可以给同党的最低贿赂是1块金子，而他可以用这块金子来收买2号海盗。因为如果4号被否决而3号得以通过，则2号将一文不名。因此，4号的分配方案应是：99块金子归自己，3号一块也得不到，2号得1块金子，1号也是一块也得不到。 &br&
5号海盗的策略稍有不同。他需要收买另两名海盗，因此至少得用2块金子来贿赂，才能使自己的方案得到采纳。他的分配方案应该是：98块金子归自己，1块金子给3号，1块金子给1号。
这一分析过程可以照着上述思路继续进行下去。每个分配方案都是唯一确定的，它可以使提出该方案的海盗获得尽可能多的金子，同时又保证该方案肯定能通过。照这一模式进行下去，10号海盗提出的方案将是96块金子归他所有，其他编号为偶数的海盗各得1块金子，而编号为奇数的海盗则什么也得不到。这就解决了10名海盗的分配难题。 &br&
Omohundro的贡献是他把这一问题扩大到有500名海盗的情形，即500名海盗瓜分100块金子。显然，类似的规律依然成立——至少是在一定范围内成立。事实上，前面所述的规律直到第200号海盗都成立。 200号海盗的方案将是：从1到199号的所有奇数号的海盗都将一无所获，而从2到198号的所有偶数号海盗将各得1块金子，剩下的1块金子归200号海盗自己所有。
乍看起来，这一论证方法到200号之后将不再适用了，因为201号拿不出更多的金子来收买其他海盗。但是即使分不到金子，201号至少还希望自己不会被扔进海里，因此他可以这样分配：给1到199号的所有奇数号海盗每人1块金子，自己一块也不要。 &br&
202号海盗同样别无选择，只能一块金子都不要了——他必须把这100块金子全部用来收买100名海盗，而且这100名海盗还必须是那些按照201号方案将一无所获的人。由于这样的海盗有101名，因此202号的方案将不再是唯一的——贿赂方案有101种。 &br&
203号海盗必须获得102张赞成票，但他显然没有足够的金子去收买101名同伙。因此，无论提出什么样的分配方案，他都注定会被扔到海里去喂鱼。不过，尽管203号命中注定死路一条，但并不是说他在游戏进程中不起任何作用。相反，204号现在知道，203号为了能保住性命，就必须避免由他自己来提出分配方案这么一种局面，所以无论204号海盗提出什么样的方案，203号都一定会投赞成票。这样204号海盗总算侥幸拣到一条命：他可以得到他自己的1票、203号的1票、以及另外100名收买的海盗的赞成票，刚好达到保命所需的50%。获得金子的海盗，必属于根据202号方案肯定将一无所获的那101名海盗之列。
205号海盗的命运又如何呢？他可没有这样走运了。他不能指望203号和204号支持他的方案，因为如果他们投票反对205号方案，就可以幸灾乐祸地看到205号被扔到海里去喂鱼，而他们自己的性命却仍然能够保全。这样，无论205号海盗提出什么方案都必死无疑。206号海盗也是如此——他肯定可以得到205号的支持，但这不足以救他一命。类似地，207号海盗需要104张赞成票——除了他收买的100张赞成票以及他自己的1张赞成票之外，他还需3张赞成票才能免于一死。他可以获得205号和206号的支持，但还差一张票却是无论如何也弄不到了，因此207号海盗的命运也是下海喂鱼。 &br&
208号又时来运转了。他需要104张赞成票，而205、206、207号都会支持他，加上他自己一票及收买的100票，他得以过关保命。获得他贿赂的必属于那些根据204号方案肯定将一无所获的人（候选人包括2到200号中所有偶数号的海盗、以及201、203、204号）。
现在可以看出一条新的、此后将一直有效的规律：那些方案能过关的海盗（他们的分配方案全都是把金子用来收买100名同伙而自己一点都得不到）相隔的距离越来越远，而在他们之间的海盗则无论提什么样的方案都会被扔进海里——因此为了保命，他们必会投票支持比他们厉害的海盗提出的任何分配方案。得以避免葬身鱼腹的海盗包括201、202、204、208、216、232、264、328、456号，即其号码等于200加2的某一方幂的海盗。
现在我们来看看哪些海盗是获得贿赂的幸运儿。分配贿赂的方法是不唯一的，其中一种方法是让201号海盗把贿赂分给1到199号的所有奇数编号的海盗，让202号分给2到200号的所有偶数编号的海盗，然后是让204号贿赂奇数编号的海盗，208号贿赂偶数编号的海盗，如此类推，也就是轮流贿赂奇数编号和偶数编号的海盗。
结论是：当500名海盗运用最优策略来瓜分金子时，头44名海盗必死无疑，而456号海盗则给从1到199号中所有奇数编号的海盗每人分1块金子，问题就解决了。由于这些海盗所实行的那种民主制度，他们的事情就搞成了最厉害的一批海盗多半都是下海喂鱼，不过有时他们也会觉得自己很幸运——虽然分不到抢来的金子，但总可以免于一死。只有最怯懦的200名海盗有可能分得一份脏物，而他们之中又只有一半的人能真正得到一块金子，的确是怯懦者继承财富。
转载自微博 数论妙趣 的一篇文章。传送门如下：
数学的逻辑有时会导致看来十分怪异的结论。一般的规则是，如果逻辑推理没有漏洞，那么结论就必定站得住脚，即使它与你的直觉矛盾。 1998年9月，加利福尼亚州帕洛阿尔托的Stephen M. Omohund…
如果对好玩的东西有兴趣，非常推荐下面的三大新一代轮子。它们的核心思想都可用极简短的代码实现，效果特别直观，并且拥有无数的后续改进。因为这三者都属于易入门，但很难真正做完善。&br&&br&【UPDATE：对 AlphaGo 和围棋人工智能有兴趣的朋友，我最近在写一个系列，介绍如何自制你的&AlphaGo&，请点击：&a href=&/p/& class=&internal&&知乎专栏&/a&】&br&&br&&b&&u&1. &渲染器&：Path Tracing 路径追踪。&/u&&/b&&br&&br&入门例子：&br&&a href=&///?target=http%3A///smallpt/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&smallpt: Global Illumination in 99 lines of C++&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&img src=&/04dfdffa71cd34bf4daf1_b.png& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&/04dfdffa71cd34bf4daf1_r.png&&懂一点的朋友会问，path tracing 的算法不是已经很明确了吗？渲染还有要研究的问题了吗？事实是，做得差不多，不难；但有很多复杂的情况很难，如 SDS path。因此后续有 BPT，MLT，PPM 等等改进，直到下面的 VCM 才能比较完善地处理大多数复杂情况（但仍然存在无法处理好的情况）。此外，高品质的实时渲染依旧是难题。&br&&br&进阶例子：&br&&a href=&///?target=http%3A///publications/VertexMerging& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Iliyan Georgiev: Light Transport Simulation with Vertex Connection and Merging&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&img src=&/528faa991fe34d6bdbcc7e_b.jpg& data-rawwidth=&1913& data-rawheight=&662& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1913& data-original=&/528faa991fe34d6bdbcc7e_r.jpg&&&br&&b&&u&2. &博弈器&：Monte Carlo Tree Search 蒙特卡洛树搜索。&/u&&/b&&br&&br&入门例子：&br&&a href=&///?target=http%3A//mcts.ai/about/index.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Monte Carlo Tree Search&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&img src=&/9ef902e9_b.png& data-rawwidth=&571& data-rawheight=&233& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&571& data-original=&/9ef902e9_r.png&&&br&&br&现实世界中的许多问题都可以转化为博弈问题，通用的名词叫做 General Game Playing，其中也有无数 trick，有兴趣可以去看相关 survey。目前所有 GGP 使用的都是 MCTS 作为核心算法，并且可以预期未来它们都会使用 AlphaGo 的 MCTS + DNN + RL 框架。&br&&br&进阶例子（AlphaGo 是这里第二个轮子和第三个轮子的结合）：&br&&a href=&///?target=https%3A///i/2016/03/deepmind-mastering-go.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/i/2016/0&/span&&span class=&invisible&&3/deepmind-mastering-go.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&img src=&/0a31ee323ec250ed9c9e1df0bb22a888_b.jpg& data-rawwidth=&999& data-rawheight=&697& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&999& data-original=&/0a31ee323ec250ed9c9e1df0bb22a888_r.jpg&&&br&&br&&b&&u&3. &识别器&：Deep Neural Network 深度神经网络。&/u&&/b&&br&&br&入门例子：&br&&a href=&///?target=http%3A///exdb/lenet/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&MNIST Demos on Yann LeCun's website&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&img src=&/883ff066b63dc9c25f3fc967259eaa05_b.jpg& data-rawwidth=&465& data-rawheight=&378& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&465& data-original=&/883ff066b63dc9c25f3fc967259eaa05_r.jpg&&&br&&b&更新：下面是目前最直观的 DNN 演示，似乎要翻墙。不夸张地说，现在每个人都可以在自己的浏览器里面直接“玩深度神经网络”了。什么都不用说，自己玩玩就明白。&br&&/b&&br&地址是： &a href=&///?target=http%3A//playground.tensorflow.org/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&A Neural Network Playground&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&&img src=&/fdbe8b10d5dd6860cdb6a4_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&508& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&/fdbe8b10d5dd6860cdb6a4_r.jpg&&&br&进阶例子：&br&&a href=&///?target=http%3A//arxiv.org/abs/& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&arxiv.org/abs/&/span&&span class=&invisible&&2&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&img src=&/d142bd07fdddbaaaa342_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&842& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&/d142bd07fdddbaaaa342_r.jpg&&&br&=====================&br&&br&严格说来，这三个轮子已经不完全是计算机理论的层面，而涉及到了世界与我们思维的运行规律，所以就更值得自己造一遍了。&br&&br&顺便一提。这里第一个和第二个其实很像（请思考为什么），只是有一个很微妙而重要的区别（请思考是什么）。&br&&br&而第三个要真正做得robust，也许还是需要再多理解前面二个，毕竟CV应该首先是CG的逆。也就是说，如果电脑要真正&理解&看到了什么，应该从2d图像把原始的3d场景（3d模型+材质+光照）还原出来，然后再分析这个3d场景；而不是像现在的绝大多数文章这样只在2d图像上做统计分析。
如果对好玩的东西有兴趣，非常推荐下面的三大新一代轮子。它们的核心思想都可用极简短的代码实现，效果特别直观，并且拥有无数的后续改进。因为这三者都属于易入门，但很难真正做完善。 【UPDATE：对 AlphaGo 和围棋人工智能有兴趣的朋友，我最近在写一个系…
手机就不要叫手机了。干脆叫手持式移动通信终端机。&br&&br&&br&3G听多了，换一种说法，第三代通信技术。&br&&br&&br&鼠标就叫做&br&显示系统纵横位置指示器&img src=&/a915dbc00beeb117328aafc_b.jpg& data-rawheight=&376& data-rawwidth=&696& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&696& data-original=&/a915dbc00beeb117328aafc_r.jpg&&&br&&br&&br&&br&手也不要叫手了，叫 人使用工具的上肢前端。&br&&br&&br&剪指甲就叫做上肢前端赘余甲质铰切术。&br&&br&&br&走路就叫做下肢缓步交替运动&br&&br&&br&脑残就叫做智慧器官CPU受损。&br&&br&&br&眼睛也不要叫眼睛了，直接叫做生物电磁波接受感应器官。&br&&br&&br&眼药水也可以改名了，叫做 缓解生物电磁波接受感应器官睫状肌不适以及晶状体干涩等症状的H?O和各种化学成分混合物。&br&&br&&br&以后说话就这样说：&br&&br&&br&我的上肢前端拿起手持式移动通信终端机，电磁波感应器官接受信息，并由位于颅腔内的中枢神经系统翻译成图像，并且保持这种状态3600个铯133原子基态的两个超精细能阶间跃迁对应辐射的9,192,631,770个周期的持续时间。由于电磁波接受感应器官睫状肌痉挛，我便使用&br&缓解睫状肌不适以及晶状体和结膜干涩等症状的H?O和各种化学成分混合物来治疗，继续浏览我的终端机上的视觉表义符号和各种视觉图像，突然感觉有些疲惫了，于是，我打算暂时降低机体对外界刺激的反应性和中断意识，陷入一种可逆的静息状态。躺在我的 3/299 792 458光秒尺度的静卧器具上，逐渐陷入了这种状态。 在地球自转大概1/3圈后，我的手持式移动通信终端机 通过空气介质传播空气波动，被我的空气机械波感应器官所感知，我被它从这种静息状态中唤醒。我也该用我的上肢前端去移动一种土胚烧制的 建筑用的人造小型块材了。&br&&br&（我拿起手机，眼睛看着手机，玩了一个，小时的手机，眼睛不舒服，于是我便滴了眼药水，然后继续看我手机上的文字和图像，我感觉累了，打算睡觉了，于是躺在我的大概3米长的床上睡觉，8个小时后，我的手机闹钟把我叫醒，我也该起床去搬砖了。）&br&选自 &a href=&/question/& class=&internal&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&/question/2773&/span&&span class=&invisible&&1353&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&
手机就不要叫手机了。干脆叫手持式移动通信终端机。 3G听多了，换一种说法，第三代通信技术。 鼠标就叫做 显示系统纵横位置指示器 手也不要叫手了，叫 人使用工具的上肢前端。 剪指甲就叫做上肢前端赘余甲质铰切术。 走路就叫做下肢缓步交替运动 脑残就叫做…
谢 &a data-hash=&d8f1a5bab431f5ec28ef20& href=&///people/d8f1a5bab431f5ec28ef20& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@邹上& data-hovercard=&p$b$d8f1a5bab431f5ec28ef20&&@邹上&/a&邀&br&先占一个位，问题已被修改，我也觉得其实从多角度来讨论，这样问题讨论的范围就更加广了，也就不必纠结于一个绝对的答案，而是在各个领域所看到的一些观点&br&新答案可以让大家也都可以选择一个想看，觉得信服的答案点赞，而不是。&br&4月5日更新总进度85%。。&br&貌似是目前知乎上最热烈的音乐类讨论话题了。。。。知乎音乐届的大V，千古，圭大都来。。。。我只是来声援这两位大神的。。。。&br&当然如果觉得专业内容太难懂了，可以直接跳过去看“四”，一到三可能是分钟就能看完，四可能需要几个小时，而且很难懂但是很重要。。&br&－－－－－－－－－－&br&致学电工程的，我能理解你们是怀揣了满心的梦想和热情，想要凭自己所学在自己的领域跃跃欲试创出一番事业。。。。抱歉，每一个音乐家也是如此！所以你们批评 &a data-hash=&07b45f00c0eccbd8b8ee846c& href=&///people/07b45f00c0eccbd8b8ee846c& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@圭多达莱佐& data-hovercard=&p$b$07b45f00c0eccbd8b8ee846c&&@圭多达莱佐&/a&大神电工知识的缺乏，那又试问你们对音乐，对人类美学，对艺术史有多少研究呢？至少我看来知乎上的圭大和千古留名一直都是致力于用通俗易懂的语言，向人们阐述一些含金量非常高的音乐艺术知识，他们并没有嘲笑讥讽你们对现代音乐的浅薄理解和无知。。&br&有机会可以看一看圭大提出的。。我自己作为一个音乐艺术为主业的研究者，在艺术领域的研究探索远超过技术工程领域。。本身是很反感人们把我当成技术人员来看的，原问题把我的思维导向了一个需要从电声信号这方面去解决问题的回答思路，渐渐的变成了一个回答的主题，其实我在哲学部分想要说的，才是自己真正想回答的内容希望大家能够对这部分内容进行一些更多的思考。。&br&－－－－－－－－－－&br&&b&我的观点也是钢琴永远都会存在下去&/b&，我学习的是当代艺术类音乐，其中最擅长的要数电声音乐了，我想我这种天天跟电子设备，音质，音色，电子特效打交道的人来说，我应该是比一头埋在公式或者电路里，研究工科理科生还要明白这当中的原因的。。当然如果你们觉得自己在傅立叶变化很有造诣，能用Z转换，卷积等就能把文科生打蒙了，我还是自信可以一战，至少我并不是对此一无所知。。。。亮出你的公式和构想，如果真的有用而且符合实际我挺愿意见证一个隐藏在中国某处的天才，怀揣着突破人类极限的梦想，然后通过知乎让所有人明白了他是如何改变世界的。。。。&br&&br&好了，一个不怎么简短的开头之后进入正文.。&br&&br&一、电声音质（85}