解：所给微分方程对应的齐次方程解：所给微分方程对；1x2；12；于是对应的齐次方程通解为于是对应的齐次方程通解为；y?C1e?C2e；x?3x；y?C1e；?x；?C2e；由于??0不是特征根，由于??1不是特征根，；2x；y*?ax?bx?cy*?ke故设特解为，故设特；代入原非齐次方程得a??1,b?；41；,c??代入原非齐次方程得k?139；于是原非
解：所给微分方程对应的齐次方程
解：所给微分方程对应的齐次方程的 的特征方程为r2?2r?3?0，
特征方程为2r2?r?1?0，
特征根r1?1,r2??3
特征根r1??1,r2?
于是对应的齐次方程通解为
于是对应的齐次方程通解为
由于??0不是特征根，
由于??1不是特征根，
y*?ax?bx?cy*?ke故设特解为，
故设特解为
代入原非齐次方程得a??1,b?
代入原非齐次方程得k?1 39
于是原非齐次方程的通解为
于是原非齐次方程的通解为
y?C1e?C2e2?ex
(7)y???6y??9y?(x?1)e3x
(8)y???4y?xcosx
解：所给微分方程对应的齐次方程
解：所给微分方程对应的齐次方程的 的特征方程为r2?6r?9?0，
特征方程为r2?4?0，
特征根r1?r2?3
特征根r1,2??2i
于是对应的齐次方程通解为
于是对应的齐次方程通解为
y?C1e3x?C2xe3x
y?C1cos2x?C2sin2x
由于??3是二重特征根，
由于???i?i不是特征根，
y*?x(ax?b)ey故设特解为，
故设特解为?(ax?b)cosx?(cx?d)sinx
代入原非齐次方程得a?
代入原非齐次方程得b?c?0,a?,d? 6239
于是原非齐次方程的通解为
于是原非齐次方程的通解为
y?C1e3x?C2xe3x?x2(x?)e3x
y?C1cos2x?C2sin2x?xcosx?sinx
(9)*y???3y??2y?2xsinx
解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2?3r?2?0，特征根r1??1,r2??2，
由于???i?i不是特征方程的根，故设特解为y*?(ax?b)cosx?(cx?d)sinx，代入原非齐次方程得a??,b?
于是原非齐次方程的通解为y?C1e?x?C2e?2?(?x?4．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y???2y'?3y?0，yx?0?3，y'x?0?1
)cosx?(x?)sinx. 25525
解：所给齐次方程的特征方程为r2?2r?3?0，特征根r1?1,r2??3 于是通解为y?C1ex?C2e?3x，又yx?0?3，y'x?0?1，代入得C1?故特解为y?
（2）y???y?4xex,y(0)?0
解：所给微分方程对应的齐次方程的特征方程为r2?1?0，特征根r1?1,r2??1，
由于??1是特征方程的单根，故设特解为y*?x(ax?b)ex，代入原非齐次方程得a?1,b??1，于是原非齐次方程的通解为y?C1ex?C2e?x?x(x?1)ex， 又y(0)?0
y?(0)?1，代入得C1?1,C2??1，故特解为y?ex?e?x?x(x?1)ex
5．试求y???x的经过点M(0,1)且在此点与直线y?
?1相切的积分曲线 2
解：y???xdxdx??C1x?C2，又经过点M(0,1)，故C2?1，且在此点与直线y??1相切，
?x?1 则y?(0)?，那么C1?，所以y?
6．设函数y(x)连续，且y?
y(t)dt，求y。
解：原方程两边对x求导，得y??y，解之得y?Ce，但代入后C?0
习题七 常微分方程总习题
一、填空题
1．3。2．y?Ce?x?3x。3．(ax?b)ex。
4．已知某二阶线性齐次微分方程的通解为y?c1e?x?c2e2x，则该微分方程为y???y??2y?0。
二、求解题
1．求下列微分方程的通解： （1）dx?(2xy?y)dy?0
dx??ydy?0 2x?111
ln(2x?1)?y2?lnC 22
（2）y????2y???3y??x?1
解：由 r3?2r2?3r?0 有 r?0,?3,1
则Y?C1?C2e?3x?C3ex
?B为方程的特解有x设
则通解为y?C1?C2e?3x?C3ex?
2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）y???y?6ex，yx?0?6，y?x?0?3
解：由 r2?1?0 有 r??1
则 Y?C1e?x?C2ex
则通解为y?C1e?x?C2ex?3xex
又yx?0?6，y?x?0?3 则y?3e?x?3ex?3xex
（2）y???9y?8cosx，yx?0?1，y?x?0?1
解：由 r2?9?0 有 r??3i
则 Y?C1cos3x?C2sin3x
?Bsinxy??cosx 设
y??Acosx为方程的特解有
则通解为y?C1cos3x?C2sin3x?cosx
又yx?0?1，y?x?0?1 则y?sinx?cosx
3．设函数?(x)?ex?
t?(t)dt?x??(t)dt,
解：由?(x)?ex??t?(t)dt?x??(t)dt
? 1?(t)d t
???(x)??(x?
Y?C1cosx?C2sinx )e
y??Ae为方程的特解有y??
则通解为y?C1cosx?C2sinx?又?(0)?1
111cosx?sinx?ex 222
4．该可导函数?(x)满足?(x)cosx?2
?(t)sintdt?x?1求?(x)
解：?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1
??(x)cosx??(x)sinx?1
1?(x)??(x)???
?tanx?C ?2
cosxcoxscosx??
?(x)?sinx?Ccosx ?(x)?sinx?cosx 5．设二阶常系数线性方程y????y???y??ex的一个特解为y?e2x?(1?x)ex，试确定常数?,?,?并
求该方程的通解。
解：代入有?3?2?????
解之有???3??2???1
又 r2?3r?2?0
则通解为y?C1e2x?C2ex?xex
[y??(e2x?ex)?e2x?(1?x)ex?xex] 6．设y1?x，y2?x?e2x，y3?x(1?e2x)
是二阶常系数线性非齐次方程的特解，求微分方程的通解及该方程。
解：通解为y?C1(y2?y1)?C2(y3?y1)?y1?(C1?C2x)e2x?x
则该方程为 y???4y??4y?f(x)
有f(x)?4x?4
则该方程为
y???4y??4y?4x?4
一般解：由 y?(C1?C2x)e2x?x
有 2C1e2x?C2(1?2x)e2x?y??1
② 及 4C1e2x?4C2(1?x)e2x?y??
1?2x?C?e(4y??4?4xy??4x?y???2xy??)1??4
由②③解之有?
?C?1e?2x(y???2y??2)2??2
代入①有y???4y??4y?4x?4
7 求y???6y??9y?0满足y?(0)?2,
y(0)?2的特解
解：由 r2?6r?9?0 有 r12?3
则 y?(C1?C2x)e3x 又y?(0)?2,
y(0)?2 则y?2e3x 8．求
??e?(t?u)y(u)du?1满足y(0)?0的特解
解：由y???e?(t?u)y(u)du?1
及y????y??y?1
由 r2?r?1?0 有
Y?C1?C2通解为y?C1?C2?1
又y?(0)?2,
?1则y???2?1????2?1
9．已知常系数齐次线性方程的特征根为r1?3,r2??2,试确定该微分方程
解：由 r1?3,r2??2
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经济数学：微积分（第2版）学习辅导与习题选解《经济数学：微积分（第2版）学习辅导与习题选解》是与吴传生主编的普通高等教育&十一五&国家级规划教材《经济数学&&微积分》（第二版）相配套的学习辅导教材，主要面向使用该教材的教师和学生，同时也可供报考经济管理类专业研究生的学生作复习之用。
　　《经济数学：微积分（第2版）学习辅导与习题选解》的内容按章编写，每章包括教学基本要求、典型方法与范例、习题选解三个部分，基本与教材同步。典型方法与范例部分是《经济数学：微积分（第2版）学习辅导与习题选解》的重心所在，它是教师上习题课和学生自学的极好的材料。通过对内容和方法进行归纳总结，把基本理论、基本方法、解题技巧、释疑解难、数学应用等多方面的教学要求，融于典型方法与范例之中，注重对教材的内容作适当的扩展和延伸，注重数学与经济应用有机结合。习题选解部分选出了教材中一部分习题作了习题解法提要，对一些富有启发性的习题，给出了较详细的分析和解答。
　　《经济数学：微积分（第2版）学习辅导与习题选解》内容丰富，思路清晰，例题典型，注重分析解题思路，揭示解题规律，引导读者思考问题，有利于培养和提高学生的学习兴趣以及分析问题和解决问题的能力。它是经济管理类专业学生学习微积分课程的一部很好的参考用书。第一章 函数
Ⅰ.教学基本要求
Ⅱ.典型方法与范例
一、求抽象函数的表达式
二、讨论函数的基本性态
三、函数关系的建立
Ⅲ.习题选解
习题1-2 映射与函数
习题1-3 复合函数与反函数初等函数
习题1-4 函数关系的建立
习题1-5 经济学中的常用函数
第二章 极限与连续
Ⅰ.教学基本要求
Ⅱ.典型方法与范例
一、求极限的基本方法
二、无穷小的比较
三、求分段函数的极限
四、含参数的函数的极限
五、极限的定义及其应用
六、连续性的判定
七、求函数的连续区间、间断点、判别间断点的类型
八、利用函数的连续性定参数
九、利用函数的连续性求极限
十、闭区间上连续函数的性质的简单应用
Ⅲ.习题选解
习题2-1 数列的极限
习题2-2 函数极限
习题2-3 无穷小与无穷大
习题2-4 极限运算法则
习题2-5 极限存在准则两个重要极限连续复利
习题2-6 无穷小的比较
习题2-7 函数的连续性
习题2-8 闭区间上连续函数的性质
第三章 导数、微分、边际与弹性
Ⅰ.教学基本要求
Ⅱ.典型方法与范例
一、导数的概念
二、导数与微分的计算
三、边际、弹性及简单的经济应用
Ⅲ.习题选解
习题3-1 导数概念
习题3-2 求导法则与基本初等函数求导公式
习题3-3 高阶导数
习题3-4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
习题3-5 函数的微分
习题3-6 边际与弹性
第四章 中值定理及导数的应用
Ⅰ.教学基本要求
Ⅱ.典型方法与范例
一、中值定理
二、洛必达法则与泰勒公式
三、导数的应用
Ⅲ.习题选解
习题4-1 中值定理
习题4-2 洛必达法则
习题4-3 导数的应用
习题4-4 函数的最大值和最小值及其在经济中的应用
习题4-5 泰勒公式
第五章 不定积分
Ⅰ.教学基本要求
Ⅱ.典型方法与范例
一、直接积分法
二、换元积分法
三、分部积分法
四、综合举例
Ⅲ.习题选解
习题5-1 不定积分的概念、性质
习题5-2 换元积分法
习题5-3 分部积分法
习题5-4 有理函数的积分
第六章 定积分及其应用
Ⅰ.教学基本要求
Ⅱ.典型方法与范例
一、利用定积分的定义求某些数列的极限及计算简单的定积分
二、积分中值定理的应用
三、积分上限函数及其应用
四、定积分计算的基本方法
五、定积分的换元法
六、定积分的分部积分法
七、特殊函数的定积分
八、反常积分的计算
九、定积分的应用
Ⅲ.习题选解
习题6-1 定积分的概念
习题6-2 定积分的性质
习题6-3 微积分的基本公式
习题6-4 定积分的换元积分法
习题6-5 定积分的分部积分法
习题6-6 反常积分
习题6-7 定积分的几何应用
习题6-8 定积分的经济应用
第七章 向量代数与空间解析几何
Ⅰ.教学基本要求
Ⅱ.典型方法与范例
一、求曲面方程的方法
二、空间曲线
三、空间立体
四、向量的概念及运算
五、求平面方程的方法
六、求直线方程的方法
七、求距离的方法
Ⅲ.习题选解
习题7-2 柱面与旋转曲面
习题7-3 空间曲线及其在坐标面上的投影
习题7-4 二次曲面
习题7-5 向量及其线性运算
习题7-6 数量积向量积
习题7-7 平面与直线
第八章 多元函数微分学
Ⅰ.教学基本要求
Ⅱ.典型方法与范例
一、偏导数及高阶偏导数的计算
二、全微分的计算及应用
三、复合函数求偏导数
四、隐函数求偏导数
五、变量代换
六、多元函数微分学的经济应用
Ⅲ.习题选解
习题8-1 多元函数的基本概念
习题8-2 偏导数及其在经济分析中的应用
习题8-3 全微分及其应用
习题8-4 多元复合函数的求导法则
习题8-5 隐函数的求导公式
习题8-6 多元函数的极值及其应用
第九章 二重积分
Ⅰ.教学基本要求
Ⅱ.典型方法与范例
第十章 微分方程与差分方程
第十一章 无穷级数}