设f(x)是以l为周期的连续函数,证明∫a到a+lf(x)dx的值与a无关
这是定积分的一个基本证明题：证明：∫(a,a+l)f(x)dx=∫(a,0)f(x)dx+∫(0,l)f(x)dx+∫(I,a+l)f(x)dx对第3个积分,设t=x-I,代入得：∫(I,a+l)f(x)dx=∫(0,a)f(t+I)dt=∫(0,a)f(t)dt=-∫(a,0)f(t)dt,与第1个积分抵消所以：∫(a,a+l)f(x)dx=∫(0,l)f(x)dx ,右端积分与a无关.
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f(x)是以l为周期的连续函数那么它的一个原函数F(x)也是周期为l的连续函数这样F(a+l)=F(a)所以∫a到a+lf(x)dx的值与a无关
首先拆为两部分∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx.对后者换元x=t+I得, ∫f(x)dx=∫f(t+I)dt=∫f(t)dt.再将两部分合并即∫f(x)dx+∫f(t)dt＝∫f(x)dx.该值与a无关.
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头文件：#include &time.h&
定义函数：struct tm *localtime(const time_t * timep);
函数说明：localtime()将参数timep 所指的time_t 结构中的信息转换成真实世界所使用的时间日期表示方法，然后将结果由结构tm 返回。结构tm 的定义请参考gmtime()。此函数返回的时间日期已经转换成当地时区。
返回值：返回结构tm 代表目前的当地时间。
#include &time.h&
char *wday[] = {&Sun&, &Mon&, &Tue&, &Wed&, &Thu&, &Fri&, &Sat&};
struct tm *p;
time(&timep);
p = localtime(&timep); //取得当地时间
printf (&%d%d%d &, (1900+p-&tm_year), (l+p-&tm_mon), p-&tm_mday);
printf(&%s%d:%d:%d\n&, wday[p-&tm_wday], p-&tm_hour, p-&tm_min, p-&tm_sec);
执行结果：
Sat 11:12:22C．周期为△t.波速为 D．周期为△t.波速为——精英家教网——
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C．周期为△t.波速为 D．周期为△t.波速为 【】
题目列表(包括答案和解析)
下列关于电磁波的说法正确的是（ &&&&&&）A．电磁波在真空和介质中传播的速度相同B．变化的磁场能够在空间产生电场&&&& C．电磁波的波长、波速、周期的关系为v =λ•TD．电磁波既可能是横波，也可能是纵波 &
如图所示是一列简谐横波在t=0时刻的波动图象。如果此时刻质元P的运动方向沿y轴负方向，且经过0.55s质元P恰好第3次到达y轴正方向最大位移处。关于这列横波下列说法正确的是（　　）A．这列横波沿着x轴正向传播B．这列横波的周期为0.4sC．这列横波的波速为2m/sD．在0－1.2s时间内，质元Q经过的路程为零&
下列关于电磁波的说法正确的是（ &&&&&&） A．电磁波在真空和介质中传播的速度相同 B．变化的磁场能够在空间产生电场&&&&
C．电磁波的波长、波速、周期的关系为v =λ•T D．电磁波既可能是横波，也可能是纵波
下列关于电磁波的说法正确的是（　　）A、电磁波在真空和介质中传播的速度相同B、变化的磁场能够在空间产生电场C、电磁波的波长、波速、周期的关系为v=λ?TD、电磁波既可能是横波，也可能是纵波
将直径为10cm的圆柱形浮筒按入水中后放手，激起了呈同心圆环状不断扩展的水波.用摄像机拍摄出水波在t1和t2时刻的两张照片，如图a和b所示（中间的亮圆是浮筒的像，t2－t1小于一个周期）。从照片可测算水波的A．波长、频率和振幅& B．波长、频率和波速C．振幅、频率和波速& D．波长、振幅和波速 &
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&高考真题1．【解析】弹簧振子的周期由本身的结构决定与振幅无关,选项A错；波的传播速度由介质决定,选项B正确；波传播方向上的某个质点的振动速度是变化的,而波是匀速传播,选项C错；单位时间内经过媒质中一点的完全波的个数就是这列简谐波的频率；选项D对【答案】BD2．【解析】（1）从甲、乙图可看出波长λ=2.0m，周期T= 4s，振幅A = 0.8m；乙图中显示t=0时刻该质点处于平衡位置向上振动，甲图波形图中，波向x轴正方向传播，则L质点正在平衡位置向上振动，波速v =λ/T=0.5m/s；（2）由相对论知识易得运动方向上的边长变短，垂直运动方向的边长不变，C图像正确；（3）简谐运动的特征公式为x = Asinωt，其中A是振幅；自由落体由反弹起来的过程中，回复力始终为重力，恒定不变，与偏离平衡位置的位移不是成正比的，不符合简谐运动的规律。【答案】（1）0.8；4；L；0.5；（2）C；（3）Asinωt；不是3．【解析】（1）从图中可以看出两列波的波长分别为λa＝2.5m，λb＝4.0m，因此它们的周期分别为s＝1s&&&&&
s＝1.6s（2）两列波的最小公倍数为&& S＝20mt＝0时，两列波的波峰生命处的所有位置为&&&&&&& x＝（2.520k）m，k＝0，1，2,3，……&&& （3）该同学的分析不正确。要找两列波的波谷与波谷重合处，必须从波峰重合处出发，找到这两列波半波长的厅数倍恰好相等的位置。设距离x＝2.5m为L处两列波的波谷与波谷相遇，并设L＝（2m－1）&&&& L＝（2n－1），式中m、n均为正整数只要找到相应的m、n即可将λa＝2.5m，λb＝4.0m代入并整理，得由于上式中m、n在整数范围内无解，所以不存在波谷与波谷重合处。【答案】(1)1s；1.6s& (2)x＝（2.520k）m，k＝0，1，2,3，……(3)不存在波谷与波谷重合处。4．【解析】由在t1＝0.5s时，质点P恰好此后第二次处于波峰位置，可知波的周期为T=，而Q第二次在平衡位置且向上运动需要一个半周期，所以t2＝。当t1＝0.9s时质点P运动了，故其位移为2 cm【答案】(1)&&& (2)2 cm5．【解析】此题考查波在传播过程中波长、波速、频率的关系。因波在传播过程中频率不变，所以f1＝f2，又由图可知波长，根据，所以v1＝2v2。故选项C正确。【答案】C6．【解析】由图可知B和C既不是同相点，也不是反相点，所以选项A、B错。若波向右传播，则有T+=，故T=Δt，即选项C对；同理分析，得选项D错。【答案】C&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&7．【解析】(1)由图可知A=15cm，λ=40cm，T=20s，f=0.05Hz&& (2)向右。V=2cm/s.(3)x=20cm处Q点的振动图像如图所示&& 【答案】(1)A=15cm，λ=40cm，T=20s，f=0.05Hz&&&&&&&&&&&& (2)向右。V=2cm/s&&&8．【解析】由图可看出波长为4m，t=0时刻x=3m处的质点向上振动，可得该波向左传播。将整个波形图向左平移1.5m时，a质点到达波峰，此时b质点正好在平衡位置，与t=0时刻平衡位置在7m处的质点振动状态一样，故a质点到达波峰时，b质点正在平衡位置并向上振动，A错；将图像整体向左平移1m，即波传播T/4时，a的振动状态与与t=0时刻平衡位置在3.5m处的质点振动状态一样，即处在平衡位置上方并向y轴正方向运动，B错；将图像整体向左平移3m，即波传播3T/4时，a的振动状态与与t=0时刻平衡位置在9.5m处和1.5m的质点振动状态一样，即处在平衡位置下方并向y轴负方向运动，C对；a、b质点相隔3m，即相差3T/4，速度相同的质点应该在半周期内才会出现，故D错【答案】C9．【解析】由于纵波的传播速度快些，所以纵波先到达地震仪处，所以P先开始振动。设地震仪距震源为x,则有解得： x=36km.【答案】A10．【解析】因为波沿正方向传播，且x=0处质点经平衡位置向y轴负方向运动，故此时波形图为正弦函数图像，则x=0.15m＝，当n=0时，，A项正确；当n=1时，，C项正确；当n3时，，D项错【答案】AC&名校试题1．【解析】 由图所示，知运动时间，波长为8L，故，波速【答案】BC．【解析】根据单摆周期公式有：由万有引力公式得：联立解得：【答案】3．【解析】由振动图象可知，质点振动周期T=0.4s&&&&&&&&&&&
&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&取t=0时刻分析,质点A经平衡位置向上振动,质点B处于波谷,设波长为λ则& （n=0、1、2、3……） &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&& 所以该波波长为
因为有λ&3.0m的条件，所以取n＝0，1&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&& 当n＝0时，，波速&&&&&&&&&&&&
&&&& &&&&& 当n＝1时，，波速&&&&&&&&&
&&&&&& 【答案】& &4．【解析】P质点振动方程为&&&&&&&&&&
&由题意知此时刻P向下振动，&& t=0时，=-& &&&&&&&&&&&&&&&&&&所以P向下振动到平衡位置（令上述振动方程中y =0）所用时为& 第一次到达波峰需时为&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
考虑到周期性，图示位置开始在t=kT+（式中） 时刻，质点P会出现在波峰位置&&&&&&&&&&&&
另解：波的传播速度为v=&&&&&& 由题意知此时刻P向下振动，所以P向下振动到平衡位置所需时间等于波沿x轴方向传播0.5 m的时间& t1=&& (1分)&&&&&&&&&&
第一次到达波峰的的时刻为t2=+ t1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
(1分)所以质点P会出现在波峰位置的时刻是t=kT + t2&&
（ ）&&&& (1分)&& 即：t=& （ ）& &&&&& （2【答案】5．【解析】由可求得当波速为330m/s时波长为.甲、乙两地的间距为此波长的整数倍，即d=nλ (n=1,2,3,4……)当波速变为340m/s时d=(n-2) λ,& (n=1,2,3,4……)&&&&&& 由上述几式可解得：d=448.8m【答案】d=448.8m6．【解析】由于波的传播方向未给定，所以必须分别讨论波向右传播和向左传播两种情况，又由于周期(或频率)未给定，要注意时间的周期性，用通式表示一段时间t。由图线可直接读出波长λ＝4m。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
此题还有另一种解法，因为波具有空间周期性，当波向右传播时，在0.2s内，传播的距离应为：则传播速度为：当波向左传播时，在0.2s内，传播的距离为：则传播速度为：【答案】7．【解析】由图乙得小滑块做简谐振动的周期：&&&&&&&&&&&
由，&&&&&&&&&&&
&得&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
在最高点Ａ，有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
在最低点Ｂ，有&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
从Ａ到Ｂ，滑块机械能守恒，有&&&&&&&&&&&
解得：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
滑块机械能守恒：&&&& 【答案】（1）&&
（2）&&&& （3）8．【解析】本类型题往往先画出波形图，在波形图上依据题意找出适合题目要求的质点，从而确定该波的波长、周期、波速等,本题可画出如图15示波形图，标出P、Q点，不难求出图15解答：由题意(1)若波由P传至Q，依题意可作出如图16所示波形图，则t＝0.6s＝& 解得T=0.8s图 16&(2)若波由Q传至P，依题意可作出如图17所示波形图，则t＝0.6s＝解得T=2.4 s &&&&图17波速(3)若波由Q传至P，则T=2.4 s，依题意可作出如图18所示波形图，从t=0时刻开始，每经过半个周期，P、Q间只有一个质点的位移等于振幅，即 式中n=O，1，2，……图18【答案】（1）T=0.8s&&& （2）& &&&&（3），P、Q间只有一个质点的位移等于振幅9．【解析】对于受迫振动，当驱动力的频率与固有频率相等时将发生共振现象，所以列车的危险速率40 m／s，A正确．为了防止共振现象发生，B正确，由知L增大时，T不变，v变大正确，所以 A、B、D正确．【答案】ABD10．【解析】本实验是一个“控制变量法”的探究性实验，其中第（1）问提供了一个范例，第（2）问研究单摆周期与质量的关系同第（1）一样也应是改变质量，测出其对应的周期，研究周期同质量的关系。(2)保持摆长不变，改变摆球质量，测出周期；
周期与摆球质量无关。【答案】（1）“控制变量法”&& （2）保持摆长不变，改变摆球质量，测出周期；
周期与摆球质量无关11．【解析】由图可知周期为0.8s； ，求得单摆摆动时的机械能E的表达式为BD【答案】0.8s&& BD12．【解析】（1）图略，（2）表如下质点PQMN到S1的距离3l3.5l2l2.5l4.5l到S2的距离4l2.5l2l1.5l4.5l（3）加强点到两个波源的距离之差为波长的整数倍【答案】见上13．【解析】（1）两单摆的周期差&& （2）由题意知：设长摆振动N次以后，两摆同时同方向通过某位置，则有：NT1-NT2=Δt，解得N=8.25.又因为T1=1s，短摆释放8.25-0.165= 8.085 s（填时间）后，两摆恰好第一次同时向左通过平衡位置&& (3) 能更准确地测量微小的时间差,必须使T1、T2测得更准确，故应增加摆长。【答案】（1）& （2）8.085 s&&& （3）应增加摆长&考点预测题1．【解析】由题中所述实验可以看出：在P处悬挂物体的质量越大，则树枝振动的频率越低。因此可以断定鸟的质量介于50g与500g之间，由题给选项可知只有选项B可能是正确的。【答案】B2．【解析】本题重在理解振动图象的物理意义，知道时间轴上各个特殊时刻对应的单摆的位置；由图给振动图象知，t1和 t3时刻对应的都是最高点，此时摆球速度为零，悬线对它的拉力最小；t2 和t4时刻对应的是最低点，此时摆球速度为最大，悬线对它的拉力最大。综上知，D选项正确。【答案】D3．【解析】此是在考查碰撞单摆的振动周期的同时，综合考查机械能守恒、动量守恒。摆长不变，因此周期不变仍为T，AB错；碰撞中动量守恒，则，，摆动时机械能守恒，故，解得D正确。【答案】D4．【解析】以A、B整体为研究对象，在光滑水平面上水平方向受到合力为弹簧的弹力，所以一起作简谐运动，即选项A正确。同时对整体由牛顿第二定律得：加速度为a=，再隔离物体A，由牛顿第二定律得所受摩擦力大小为：f=ma=m。故选项B正确。B对A的静摩擦力对A做功，而A对B的静摩擦力对B也做功，所以选项C错；B对A的静摩擦力并不是始终对A做正功，而A对B的静摩擦力也并不是始终对B做负功，故选项D错．【答案】AB5．【解析】考查受迫振动、共振的相关知识，体现了高考对理论联系实际的要求。解答的关键是抓住共振时驱动力的频率等于系统的固有频率．列车在钢轨上运行时，受钢轨对它的冲击力作用做受迫振动，，当列车的固有频率等于冲击力的频率时，发生共振。由可求出危险车速为 40 m/ s ，故选项 A正确；列车过桥需要减速，是为了防止桥与火车发生共振现象，故选项B错误；列车运行的振动频率若与列车的固有频率相同，则列车振动最剧烈，危害最大，所以C错；由知，列车固有振动周期一定，若增加钢轨长度，列车运行时的危险速率增大，即有利于列车高速运行，D对【答案】AD6．【解析】本题考查了简谐运动的图象和受迫振动的有关知识。由图b可知T=4S，选项A正确。当驱动力的周期T等于弹簧振子的周期T时，受迫振动达到稳定后砝码振动的振幅y最大，T和T相差越小，所以选项C也正确。【答案】C7．【解析】波传播的是振动的形式和能量，质点并不随波迁移。故选项A、B正确。C错。当振源停止运动时，振动的形式还在向前传播，故选项D错。【答案】AB8．【解析】由图中的所示的图形来看，b图肯定是不正确的，因为波在同一媒质中传播时的波长是不变，而b图中波长发生了变化，所以选项内容中凡涉及到了b图的情况肯定是不正确的，本题4个选项中只有D选项没有涉及到b图，所以D选项肯定正确．从波的叠加角度来分析，在t＝2s时，两列波均传播了2m，它们刚好重合，由于它们是波峰和波谷相遇，所以叠加的结果是相遇后的质点位移均为零，C图是正确的，当t＝4s时，两列波均传播了4m的距离，相当于在a图的位置上互换，d图是正确的．所以D选项正确．已知某一时刻的波形图，判断方向和求位移、路程及质点坐标【答案】D9．【解析】已知质点F向下振动，由上述方法可知，此列波向左传播。质点B此时向上运动，质点D向下运动，质点C比B先回到平衡位置。在此列波上所有振动质点的振幅都是相等的。故只有A、B选项正确。【答案】AB10．【解析】从波的图象可直接得到：振幅A=5cm，波长，波向右传播，质点M振动方向向上。由此求得振动周期。进而求出从t＝0到t＝2.5秒的时间内，质点M通过的路程是。又，即从t＝0到t＝2.5秒的时间内，质点M又回到平衡位置，所以位移为0。【答案】& 011．【解析】由图可知，波长为12cm，周期，&& AB错；经，则波传播的距离为，沿x轴负方向传播，C错；D对【答案】D12．【解析】由图甲可知波长=4m，由图乙可知波沿X轴正向传皤，且周期T= 经过0.35 s ，质点P达最大位移处，而质点Q没有达最大位移，所以选项 A正确。经过 0 .25s 时，P质点过到负的最大位移处，加速度也应比Q的大，即B项错。经过 0.15s，波传播的距离为S=Vt=3m ，故选项C正确。经过 0.1s 时，质点Q的运动方向应沿 y 轴负方向，所以选项D错。【答案】AC13． 【解析】由图甲读出λ=100cm,由图乙读出T=2S，据V=λ/T得V=50cm/s.将图31乙之y-t图延长到t=20s时刻，可以看出P点运动方向向上，再看图31甲，波若向右传播，则P运动方向向下，波若向左传播，则P运动方向向上，故判定波是向左传播的。综上所述，本题应选B。【答案】B14．【解析】（1）先利用单摆测出重力加速度，再利用万有引力定律由重力加速度的值与测点到地心距离的关系求出高度。（2）虽然两人没有带计时工具，但可以利用人的脉搏作参考，因正常人安静时的脉搏周期一定，利用脉搏的次数来代表振动时间。步骤1：先用细线拴住一个小石子做成单摆。步骤2：用单摆在山脚做一次实验，开始实验后，甲测出脉搏数为时，乙记录单摆全振动的次数为。步骤3：甲、乙在山顶再做一次实验，开始实验后，甲测出脉搏数为时，乙记录单摆全振动的次数为。步骤4：设甲脉搏周期为t，在山脚单摆的周期为，则有：如在山顶的周期为，则有：所以：步骤5：由万有引力定律和牛顿第二定律有：所以有：故山的高度：【答案】15．【解析】设S为超声波往返的距离，h为海水的深度，有&&& S＝vt＝1500×8＝12000mh＝S／2＝6000m【答案】6000m16．【解析】f一定，v与成正比由图可知：&& cm【答案】cm&&&&
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定义通俗定义　　对于函数y=f（x）,如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f（x+T）=f（x）都成立,那么就把函数y=f（x）叫做周期函数,不为零的常数T叫做这个函数的周期. 严格定义　　设f(x)是定义在数集M上的函数,如果存在非零常数T具有性质； 　　（1）对 有（X±T） ； 　　（2）对 有f（X+T）=f（X） 　　则称f（X）是数集M上的周期函数,常数T称为f（X）的一个周期.如果在所有正周期中有一个最小的,则称它是函数f（X）的最小正周期. 　　由定义可得：周期函数f（X）的周期T是与X无关的非零常数,且周期函数不一定有最小正周期. [编辑本段]周期函数性质　　（1）若T（≠0）是f(X)的周期,则-T也是f(X)的周期. 　　（2）若T（≠0）是f(X)的周期,则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期. 　　（3）若T1与T2都是f(X)的周期,则T1±T2也是f(X)的周期. 　　（4）若f(X)有最小正周期T*,那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍. 　　（5）T*是f(X)的最小正周期,且T1、T2分别是f(X)的两个周期,则 （Q是有理数集） 　　（6）若T1、T2是f(X)的两个周期,且T1/T2是无理数,则f(X)不存在最小正周期. 　　（7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合. [编辑本段]周期函数的判定　　 定理1　　 　　 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数. [1] 　　证： 　　∵T*是f(X)的周期,∴对 有X±T* 且f(X+T*)= f(X),∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C, 　　∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数. 　　假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期,则必存在T’（ 0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期,则对 , 　　有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0,∵K≠0,∴f(X+T’)- f(X)=0,∴f(X+T’)= f(X), 　　∴T’是f(X)的周期,与T*是f(X)的最小正周期矛盾,∴T*也是K f(X)+C的最小正周期. 　　同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0,X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数. 定理2　　若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数,则f(aX+n)是集｛X/aX+ b ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数,（其中a、b为常数）. 　　证： 　　先证 是f(ax+b)的周期 　　∵T*是f(X)的周期,∴ ,有X±T*∈M,∴a（X± ）+b=ax+b±T*∈M,且f[a（X+ ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴ 是f（ax+b）的周期. 　　再证 是f（ax+b）的最小正周期 　　假设存在T’（0＜T’＜ ）是f（ax+b）的周期, 　　则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b）,即f（ax+b+aT’）=f（ax+b）, 　　因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数, 　　∴aT’是f(X)的周期,但 ＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾. 定理3　　设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数,且当X∈M1时,g(x)∈M,则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数. 　　证： 　　设T是u=g(x)的周期,则 1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x) ∴f(g(x+T))=f(g(x)) 　　∴=f(g(x))是M1上的周期函数. 　　例1 　　设=f(u)=u2是非周期函数,u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数,则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数. 　　同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx),（2）f(X)=Sin(tgx),（3）f(X)=Sin2x,（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数. 　　例2 　　f(n)=Sinn是周期函数,n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数,f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）. 　　例3 　　f(n)=cosn是周期函数,n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数. 　　证：假设cos 是周期函数,则存在T＞0使cos （k∈Z） 与定义中T是与X无关的常数矛盾, 　　∴cos 不是周期函数. 　　由例2、例3说明,若f(u)是周期函数,u= g(X)是非周期函数,这时f(g(x))可能是,也可能不是周期函数. 定理4　　设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数,T1、T2分别是它们的周期,若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数,T1与T2的公倍 数为它们的周期. 　　证： 　　设 （(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M,且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数.同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数. 　　 定理4推论　　 　　设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期,若, … （或T1,T2……Tn中任意两个之比）都是有理数,则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数. 　　例4 　　f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍 数2π为周期的周期函数. 　　例5 　　讨论f(X)= 的周期性 　　2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数. 　　5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数. 　　tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数. 　　又 都是有理数 　　∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数. 　　同理可证： 　　（1）f(X)= 　　(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x.是周期函数. 定理5　　设f1(x)=sin a1x,f2(x)=cosa2x,则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q. 　　证 　　先证充分性： 　　若a1/a2∈Q,设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期,则T1= 、T2= ,又 ∈Q 　　由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数. 　　再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）. 　　（1）设sina1x-cosa2x为周期函数,则必存在常数T＞0, 　　使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1). 　　令x= 得2cos（a1x+ ）,则 （K∈Z）.(2) 　　或 C∈Z（3） 　　又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 　　由(4) 　　由sin （5） 　　由上述（2）与（3）,（4）与（5）都分别至少有一个成立. 　　由（3）、（5得 ）（6） 　　∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 . 　　（2）设sinaxcosa2x为周期函数,则 是周期函数. [编辑本段]非周期函数的判定　　[1]（1）若f(X)的定义域有界 　　例：f(X)=cosx（ ≤10）不是周期函数. 　　（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的,故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0,若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数,若这样的T不存在则f(X)为非周期函数. 　　例：f(X)=cos 是非周期函数. 　　（3）一般用反证法证明.（若f(X)是周期函数,推出矛盾,从而得出f(X)是非周期函数）. 　　例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数. 　　证：假设f(X)=ax+b是周期函数,则存在T（≠0）,使对 ,a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0,∴T=0与T≠0矛盾,∴f(X)是非周期函数. 　　例：证f(X)= 是非周期函数. 　　证：假设f(X)是周期函数,则必存在T（≠0）对 ,有(x+T)= f(X),当x=0时,f(X)=0,但x+T≠0, ∴f(x+T)=1,∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾,∴f(X)是非周期函数. 　　例：证f(X)=sinx2是非周期函数 　　证：若f(X)= sinx2是周期函数,则存在T（＞0）,使对 ,有sin(x+T)2=sinx2,取x=0有sinT2=sin0=0,∴T2=Kπ（K∈Z）,又取X= T有sin( T+T)2=sin（ T）2=sin2kπ=0,∴( +1)2 　　T2=Lπ(L∈Z+),∴ 　　与3+2 是无理数矛盾,∴f(X)=sinx2是非周期函数.
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