如何用勾三股四弦五来计算角度？计算方式？_百度知道勾是18.5股是26.5，弦是多少？_百度知道第18章 勾股定理 单元测试 (3)doc--预览
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　　第十八章《勾股定理》习题
一、填空题
1．填空：
（1）一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x=_______；
（2）在△ABC中∠C=90°，AB=10，AC=6，则另一边BC=________，面积为______， AB边上的高为________；
（3）若一个矩形的长为5和12，则它的对角线长为_______．
2．三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______．
3．已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为______．
4．若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为_______．
5．测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是________．
6．矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图18-1方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．
7．如图18-2，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形中，与众不同的是_________，不同之处：_________．
8．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距________海里．
9．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，你能帮助他把旗杆的高度求出来是__________．
10．如图18-3，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（
）
　　A．3
D．4
11．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则该等腰三角形面积为_______．
12．△ABC中，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a=______，b=_______．
13．等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为_____，面积为____．
14．如果直角三角形的斜边与一直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是________cm2．
15．在△ABC中，若三边长分别为9、12、15，则以这样的三角形拼成的矩形面积为_________．
16．能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，试写出两种勾股数_______．
17．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是_________cm．
18．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt△ABC的面积是_______．
二、选择题
19．在△ABC中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（
A．BC2=AB2+AC2;
B．AB2=AC2+BC2;
C．AB2=BC2-AC2;
D．AC2=BC2-AB2
20．三角形三边之比分别为①1：2：3，②3：4：5；③1.5：2：2.5，④4：5：6，其中可以构成直角三角形的有（
D．4个
21．若线段a、b、c能构成直角三角形，则它们的比为（
A．2：3：4
B．3：4：6
C．5：12：13
D．4：6：7
22．一直角三角形的斜边长比一条直角边大2，另一条直角边长为6，则斜边长为（
D．12
23．若直角三角形两角边的比为5：12，则斜边与较小直角边的比为（
B．169：25
D．12：5
24．下面四组数中是勾股数的有（
（1）1.5，2.5，2
（2），，2
（3）12，16，20
（4）0.5，1.2，1.3
D．4组
25．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（
D．1.0米
26．如图18-4，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是（
）
　　A．0
D．3
27．一电线杆AB的高为10米，当太阳光线与地面的夹角为60°时，其影长AC约为（≈1.732，结果保留三个有效数字）（
）
　　A．5.00米
D．5.77米
28．如图18-5，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（
）
　　A．9分米
D．8分米
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
　　
29．如图18-6，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=6，BC=3，则BD的长为（
）
　　A．3
D．4
30．如图18-7，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（
D．
31．若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（
D．15
32．下列各组线段中，能构成直角三角形的是（
A．2，3，4
B．3，4，6
C．5，12，13
D．4，6，7
33．如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2-1、2n（n>1），那么它的斜边长是（
D．n2+1
34．以下列各组数为边的三角形中，是直角三角形的有（
（1）3，4，5；（2），，；（3）32，42，52；（4）0.03，0.04，0.05．
D．4个
35．如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（
D．15米
36．放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（
D．不能确定
37．如图18-8所示，要在离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2米，L2=6.2米，L3=7.8米，L4=10米四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（
　　　　A．L1
D．L4
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
38．在△ABC中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三角形三边长分别是（
A．5，4，3
B．13，12，5
C．10，8，6
D．26，24，10
39．如图18-9所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（
）
　　A．1
D．2
40．如图18-10所示，有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（
）
　　A．2cm
D．5cm
三、解答题
41．如图18-11，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．
　　
42．如图18-12，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500米到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C点，求A、C两点间的距离．
　　
43．如图18-13，求图中字母所代表的正方形面积．
　　
　　
　　
44．如图18-14，所示，四边形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=13，CD=12，∠B=90°，求该四边形的面积．
　　
　　
45．如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆点（A处）到宝藏埋藏点（B处）的直线距离是多少？
　　
46．如图18-16，古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据．
　　
47．已知，如图18-17所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
　　
48．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图18-18所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
　　
50．阅读材料并解答问题：
我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为"毕达哥拉斯定理"．
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，"能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数"，以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数（m≥3），则a=m，b=（m2-1）和c=（m2+1）是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m和n（m>n），则a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
（2）请根据方法1和方法2按规律填写下列表格：
勾m
3
5
11
...
股（m2-1）
4
12
60
...
弦（m2+1）
5
13
m
2
3
3
4
4
4
5
5
n
1
2
1
3
2
1
4
3
5
...
a=m2-n2
3
5
8
7
12
15
9
16
11
...
b=2mn
4
12
6
24
16
8
40
30
60
...
c=m2+n2
5
13
10
25
20
17
41
34
（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图18-19所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成，要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，且每个三角形的各边长之比为5：12：13，那么这四个直角三角形的边长共需植树______棵．
　　
51．清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对"三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长"这一问题提出了解法："若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数"．用现在的数学语言表述是："若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，设其面积为S，则第一步：＝m；第二步：=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三边长"．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的"积求勾股法"求出这个直角三角形的三边长；
（2）你能证明"积求勾股法"的正确性吗？请写出证明过程．
参考解析
　　提要：本节内容的重点是勾股定理及其应用．勾股定理是解几何中有关线段计算问题的重要依据，也是以后学习解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用．
本节内容的难点是勾股定理的证明．勾股定理的证明方法有多种，课本是通过构造图形，利用面积相等来证明的，证明思路的获得是我们感到困难的，这里涉及到了解决几何问题的方法之一：割补法值得我们去注意．
一、填空题
1．（1）12；
　（2）8
4.8（点拨：两直角边的积=斜边×斜边上的高）；
　（3）13
2．8（点拨：此三角形为直角三角形．）
3．5或（点拨：分4为斜边长和直角边长解．）
4．（点拨：设直角边长为x，有x2+x2=22，x=．）
5．30cm2
（点拨：此三角形为直角三角形，且两直角边长分别为5cm，12cm．）
6．（点拨：设DE=x，则DE=BE=x，AE=AB-BE=10-x；在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，所以x2=（10-x）2+16，即x=．）
7．A
A不是直角三角形，B、C、D是直角三角形（点拨：先观察得出A不是直角三角形，对于其他三角形，设每一个小正方形边长为1，利用勾股定理求出各三角形的边长，再验证．）
8．30
（点拨：根据题意画出方位图，运用勾股定理解．）
9．12米
10．A
（点拨：设BD为x，则36-（2x）2=9-x2，x=3．）
11．48（点拨：设底边长为2x，则腰长为16-x，有（16-x）2=82+x2，x=6，∴S=×2x×8=48．）
12．6
（点拨：设a=3x，b=4x，则c=5x，有5x=10，x=2．∴a=6，b=8．）
13．3
（点拨：作底边上高．）
14．30
（点拨：另一直角边为12cm．）
15．108
（点拨：因为92+122=152，所以此三角形是直角三角形，拼成的矩形的两条边是直角三角形的两直角边．）
16．如3，4，5；6，8，10；12，5，13等．
17．5
（点拨：最大长度是=5．）
18．24（点拨：由a+b=14，得a2+2ab+b2=196，而a2+b2=c2=100，有ab=48，∴S=ab=24．）
二、选择题
19．B
点拨：BC是斜边，在应用勾股定理时，应分清斜边和直角边．
20．B
点拨：②③可构成直角三角形；①不能构成三角形；④不能构成直角三角形．
21．C
22．C
点拨：设斜边长为x，有x2=（x-2）2+62，x=10．
23．C
点拨：设两直角边为5x，12x，则斜边为=13x．
24．A
25．A
点拨：=0.7．
26．C
点拨：AB=，AC== ．
27．D
点拨：BC=2AC，有AC2+102=4AC2，AC=≈5.77．
28．D
点拨：平滑前梯高为=24分米，平滑后高为24-4=20（分米），梯底距墙=15，即平滑15-7=8
（分米）．
29．A
点拨：设BD为x，则36-（2x）2=9-x2，x=3．
30．B
31．B
点拨：12可能是斜边长，也可能是直角边的长．
32．C
33．D
　点拨：c===n2+1．
34．B
点拨：（1）、（4）构成直角三角形．
35．A
36．C
点拨：画出图形，东南方向与西南方向成直角．
37．B
点拨：在Rt△ACD中，AC=2AD，设AD=x，
由AD2+CD2=AC2，即x2+52=（2x）2，x=≈2.8868，
∴2x=5.7736．
38．D
点拨：设斜边为13x，则一直角边长为5x，另一直角边为=12x，∴13x+5x+12x=60，x=2，∴三角形分别为10、24、26．
39．D
点拨：AE=
　　　　　　　==2
40．B
点拨：AB=10，∠AED=90°，CD=DE，AE=AC=6，
　∴BE=4，设CD=x，则BD=8-x．
　在Rt△BED中，BE2+DE2=BD2，即42+x2=（8-x）2，x=3．
三、解答题
41．解：设BD=x，则CD=14-x，在Rt△ABD中，AD2+x2=132，
　在Rt△ADC中，AD2=152-（14-x）2，
　所以有132-x2=152-（14-x）2，解得x=5，
　在Rt△ABD中，AD= =12．
42．解：过点B作NM垂直于正东方向，垂足为M，则∠ABM=60°．
因为∠NBC=30°，所以∠ABC=90°．
在Rt△ABC中，AC==1000（米）．
43．A=81；B=64；C=100．
44．解：在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，则有AC==5，
∴S△ABC=AB·BC=×4×3=6．
在△ACD中，AC=5，AD=13，CD=12．
∵AC2+CD2=52+122=169，AD2=132=169，
∴AC2+CD2=AD2，∴△ACD为直角三角形，
∴S△ACD=AC·CD=×5×12=30，
∴S四边形ABCD= S△ABC + S△ACD =6+30=36．
45．解：过点B作BC⊥AC，垂足为C．观察答图18-1可知AC=8-3+1=6，BC=2+5=7，
　　
　　
　　在Rt△ACB中，AB=km．
答：登陆点到宝藏埋藏点的直线距离是km．
点拨：所求距离实际上就是AB的长．解此类题目的关键是构造直角三角形，利用勾股定理直接求解．
46．解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
　　有（3m）2+（4m）2=（5m）2，
　　所以以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．
47．连结AE，则△ADE≌△AFE，所以AF=AD=10，DE=EF．
　　设CE=x，则EF=DE=8-x，BF==6，CF=4．
　　在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2，即（8-x）2=x2+16，故x=3
48．当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最价
∵CD·AB=AC·BC
∴CD==48米
∴AD==64米
所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元．
49．如图，△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图18-2（1），根据勾股定理，则a2+b2=c2，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．
49．解：若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2>c2；
　　若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2<c2．
　　证明：
　　①当△ABC是锐角三角形时，如图18-3，
　　过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD为x，则有DB=a-x，
　　根据勾股定理，得b2-x2=c2-（a-x）2．
即b2-x2=c2-a2+2ax-x2，∴a2+b2=c2+2ax．
　　∵a>0，x>0，∴2ax>0，∴a2+b2>c2．
　　
　　
　　②当△ABC是钝角三角形时，如图18-4，
　　过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
　　设CD为x，则BD2=a2-x2．
根据勾股定理，得（b+x）2+a2-x2=c2．
即b2+2bx+x2+a2-x2=c2．
∴a2+b2+2bx=c2．∵b>0，x>0，∴2bx>0，∴a2+b2<c2．
50．（1）方法1c-a=（m2+1）-m=（m2-2m+1）=（m-1）2>0，c-b=1>0，
所以c>a，c>b．而a2+b2=m2+[（m2-1）] 2=（m4-2m2+1）+m2
=（m4+2m2+1）=[（m2+1）] 2=c2，
　　所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
同理可证方法2．
　　（2）方法1中自上而下：7、24、25；9、40、41．
　　　　方法2中自上而下：5、2、21、20、29；5、1、24、10、26．
（3）120．
51．（1）解：当S=150时，k===5，
　　所以三边长分别为：3×5=15，4×5=20，5×5=25；
　　（2）证明：三边为3、4、5的整数倍，
　　设为k倍，则三边为3k，4k，5k，
　　而三角形为直角三角形且3k、4k为直角边．
　　其面积S=（3k）·（4k）=6k2，所以k2=，k=（取正值），即将面积除以6，然后开方，即可得到倍数．
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